Квантовый аналог NP: класс BQNP
Утверждение 13.3. Задача локальный гамильтониан полна в классе BQNP относительно полиномиальной сводимости.
Идея доказательства восходит к Фейнману [29]: замена унитарной эволюции не зависящим от времени гамильтонианом (т.е. переход от схемы к локальному гамильтониану).
Доказательство. Итак, пусть есть схема размера :
. Будем считать, что
действует на пространстве из
q-битов, первые
из которых — q-биты подсказки, а остальные — вспомогательные (взятые напрокат на время вычислений); считаем также, что схема состоит из операторов, действующих на парах q-битов.
Гамильтониан, сопоставляемый схеме. Он действует на пространстве
![\calL=\BB^{\otimes N}\otimes \CC^{L+1},](/sites/default/files/tex_cache/51c822b33fb9f7a4c4c93ba0131ff13c.png)
![H=H_{\rm in}+H_{\rm prop}+H_{\rm out}.](/sites/default/files/tex_cache/d6f9c19c0d84e4c859809af7a59da12a.png)
Слагаемое отвечает начальному состоянию и равно
![]() |
( 13.8) |
![\Pi^{(\alpha)}_s](/sites/default/files/tex_cache/49d5c9d21881f5e5c69c4c3753bb88cd.png)
![s](/sites/default/files/tex_cache/03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png)
![\alpha](/sites/default/files/tex_cache/7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08.png)
Слагаемое отвечает конечному состоянию и равно
![]() |
( 13.9) |
И, наконец, слагаемое описывает эволюцию системы и состоит, как и следовало ожидать, из
слагаемых, каждое из которых отвечает за переход от
к
:
![]() |
( 13.10) |
Каждое слагаемое действует на два q-бита из пространства состояний и на q-биты пространства счетчика.
Замена базиса. Произведем замену базиса, задаваемую оператором
![W=\sum_{j=0}^{L} U_j\cdot\ldots\cdot U_1\otimes \ket{j}\bra{j}.](/sites/default/files/tex_cache/ecb1cdac2f01c181067bc7dca6f3037c.png)
![W](/sites/default/files/tex_cache/61e9c06ea9a85a5088a499df6458d276.png)
![j](/sites/default/files/tex_cache/363b122c528f54df4a0446b6bab05515.png)
![j](/sites/default/files/tex_cache/363b122c528f54df4a0446b6bab05515.png)
Гамильтониан при такой замене изменится на сопряженный: . Посмотрим, как действует сопряжение оператором
на слагаемые
.
На слагаемое сопряжение не влияет:
![]() |
( 13.11) |
Действие на слагаемое :
![]() |
( 13.12) |
Слагаемое состоит из трех. Вначале запишем действие сопряжения на первое из слагаемых в (13.10):
![\begin{multiline*}
W^\dagger \left(-\frac{1}{2} U_j\otimes \ket{j}\bra{j-1}\right)W
=\\=
-\frac{1}{2}
\sum_{u,t}
\bigl(U_u\cdot\ldots\cdot U_1\otimes\ket{u}\bra{u}\bigr)^\dagger
\bigl(U_j\otimes\ket{j}\bra{j-1}\bigr)
\bigl(U_t\cdot\ldots\cdot U_1\otimes\ket{t}\bra{t}\bigr)=\\
=
-\frac{1}{2}
\left((U_j\cdot\ldots\cdot U_1)^\dagger U_j \cdot\ldots\cdot U_1\right)
\otimes
\left( \bigl(\ket{j}\bra{j}\bigr)^\dagger\,
\ket{j}\bra{j-1}\; \bigl(\ket{j-1}\bra{j-1}\bigr)\right)=\\=
-\frac{1}{2} I\otimes \ket{j}\bra{j-1}.
\end{multiline*}](/sites/default/files/tex_cache/8601bf8a4cac44190c8146b55ac4f03c.png)
![\begin{multiline*}
\tH_j=W^\dagger H_j W=\\=
I\otimes \frac{1}{2}\Bigl(
\ket{j-1}\bra{j-1}-\ket{j-1}\bra{j}-\ket{j}\bra{j-1}+\ket{j}\bra{j}
\Bigr)=I\otimes E_j
\end{multiline*}](/sites/default/files/tex_cache/07ff588709b08e500ada0cf72aa1d244.png)
![]() |
( 13.13) |
Оценка собственного числа при ответе "да". Предположим, что схема, на вход которой подан вектор , дает ответ 1 с вероятностью не меньше, чем
. Это, по определению, означает, что
![\PP(0)=\langle \xi,0|\, U^\dagger \Pi^{(0)}_1U\, |\xi,0\rangle\leq\eps.](/sites/default/files/tex_cache/48f444d580f6bf8a6b9ff41612ec5734.png)
Докажем, что в этом случае у (а, значит, и у
) есть малое собственное число. Для этого предъявим такой вектор
, что
достаточно мало (минимум квадратичной формы
достигается на собственном векторе).
В пространстве счетчика выберем вектор
![]() |
( 13.14) |
![\ket\weta](/sites/default/files/tex_cache/c28caba07c30a229b1f4adff3bf8047a.png)
![\ket{\xi,0}\otimes\ket\psi](/sites/default/files/tex_cache/c51a33b54701076d4fb95e3e8ec62206.png)
![\langle \weta|\,H\,|\weta\rangle](/sites/default/files/tex_cache/4ae8eadf9b88db602baa19ba265dc638.png)
Очевидно, что . Поэтому
![\langle \weta|\,\tH_{\rm prop}\,|\weta\rangle=0= \langle \weta|\,\tH_j\,|\weta\rangle.](/sites/default/files/tex_cache/b5ca902668f81b2dd02c41f6c72434e6.png)
![\langle \weta|\,\tH_{\rm in}\,|\weta\rangle=0.](/sites/default/files/tex_cache/febc315383f18ed0069f9d186f966e32.png)
![\langle \weta|\,\tH_{\rm out}\,|\weta\rangle= \langle \weta|\, \left(U^\dagger \Pi^{(0)}_1 U\right)\otimes \ket{L}\bra{L} \,|\weta\rangle=\PP(0)\cdot\frac{1}{L+1}\leq\frac{\eps}{L+1}.](/sites/default/files/tex_cache/d374ceded7cf5a4f1bdf51640afb8c95.png)
![\langle \weta|\,\tH\,|\weta\rangle \leq \frac{\eps}{L+1},](/sites/default/files/tex_cache/03bf3b6c82e67bcb50553fde5b161670.png)
![H](/sites/default/files/tex_cache/c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png)
Оценка собственного числа при ответе "нет". В этом случае нам нужно доказать, что все собственные числа велики. Пусть для любого вектора вероятность ответа 1 не превосходит
, т.е.
![\langle \xi,0|\, U^\dagger\Pi^{(0)}_1 U\,|\xi,0\rangle\geq 1-\eps.](/sites/default/files/tex_cache/829541a40028fd7a4c774ff0e7041b7f.png)
![H](/sites/default/files/tex_cache/c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png)
![c(1-\sqrt{\eps})L^{-3}](/sites/default/files/tex_cache/b7bde9a461d70b4519bf0e067bd4dd35.png)
![c](/sites/default/files/tex_cache/4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png)
Доказательство довольно длинное, поэтому вначале приведем его краткий план. Представив гамильтониан в виде суммы операторов
и
, мы оценим снизу наименьшие ненулевые собственные числа
и
по отдельности. Получим оценки
и
соответственно. Чтобы оценить наименьшее собственное число
, нам потребуется лемма, которая дает такую оценку для суммы через оценки для слагаемых и угол между их нулевыми подпространствами. Углом между подпространствами
и
с нулевым пересечением будем называть величину
, задаваемую условиями
![]() |
( 13.15) |