Физически реализуемые преобразования матриц плотности
Измерение
При описании квантовых алгоритмов часто бывает естественно считать, что наряду с квантовым вычислительным устройством используется и классическое. Основной механизм взаимодействия между квантовой и классической частями состоит в измерении квантовых регистров, дающем классический результат.
Рассмотрим систему, состоящую из двух частей, — квантовой ( ) и классической ( ). По классическим координатам матрица плотности диагональна:
где — вероятность иметь классическое состояние , а оператор обладает всеми свойствами матрицы плотности. Таким образом, квантово-классическое состояние всегда разложимо на "условные" (по аналогии с условными вероятностями) матрицы плотности . Будем использовать для такого случая специальное обозначение: .
Пусть имеется ряд взаимоисключающих возможностей, что выражается разложением пространства состояний в прямую сумму попарно ортогональных подпространств
где — множество возможностей (действительно, если подпространство ортогонально подпространству , то для любой матрицы плотности выполняется ).Преобразование матриц плотности, которое мы будем называть измерением, состоит в том, что для состояний из подпространства "измеряющий прибор" помещает в классический регистр номер состояния :
( 10.2) |
Хотя измерение отображает пространство в , результат всегда диагонален по второй компоненте. Поэтому можно считать, что измерение отображает в .
Для выполняется равенство . Поэтому из соображений линейности можно доопределить измерение на всех остальных матрицах плотности
и прийти к следующему определению.Определение 10.1. (Детерминированным) измерением называется преобразование матриц плотности
( 10.3) |
где .
Можно сказать, что — это результат измерения, — вероятность получить данный результат, а — состояние измеряемой системы после измерения при условии, что получен результат . Если мы измеряем чистые состояния, т.е. , то , где .
Приведем простейший пример измерения. Сделаем две копии бита. Пусть , а . Тогда
Задача 10.6. "Квантовая телепортация" (см. [21]). Пусть имеются три q-бита: первый из них находится в произвольном (заранее неизвестном) состоянии , второй и третий — в состоянии
Произведем над первыми двумя q-битами измерение, соответствующее ортогональному разложению Покажите, что используя результат измерения и оставшийся третий q-бит, можно восстановить исходное состояние . Запишите всю последовательность действий (измерение и восстановление) в виде квантовой схемы.Замечание 10.3. Этот процесс можно представлять таким образом. Допустим, что Алиса хочет передать Бобу1Эти два персонажа встречаются практически в любой статье по квантовой теории информации. квантовое состояние по классическому каналу связи (например, по телефону). Оказывается, что это возможно, если Алиса и Боб заранее приготовили состояние и взяли от него по половинке — одному q-биту. Алиса производит измерение и сообщает результат Бобу. Затем Боб переводит свой q-бит в состояние .