НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 10: Физически реализуемые преобразования матриц плотности

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Подсчет вероятностей для квантового вычисления.

Теперь, имея общие определения квантовой вероятности и физически реализуемого преобразования матриц плотности, можно вычислять вероятности, входящие в определение квантового вычисления, двумя способами. Пусть мы использовали при вычислениях дополнительную подсистему. После того, как она стала нам не нужна, мы можем выбросить ее в мусорную корзину, а при подсчете вероятности взять частичный след по пространству состояний дополнительной подсистемы. А можно тянуть весь этот мусор до самого конца и считать вероятность для событий вида $\calM_1\otimes\calN_2$ (раз уж мы перестали использовать вторую подсистему, то никакие детали ее состояния нам не важны — нам безразлично, что именно произойдет с использованной подсистемой в мусорной корзине). Как уже говорилось, эти вероятности равны: $\PP(\rho,\calM_1\otimes\calN_2)=\PP(Tr_{\calN_2}\rho,\calM_1)$ .

Замечание. Нетрудно определить более общую модель квантового вычисления, в которой элементарными действиями являются подходящие преобразования матриц плотности общего вида (не обязательно унитарные операторы). Такая модель более адекватна физической ситуации, когда квантовый компьютер взаимодействует с "окружающей средой". С вычислительной точки зрения новая модель эквивалентна стандартной (если в обоих случаях используется полный базис). Однако в модели с общими преобразованиями матриц плотности возможно более естественное определение подпрограммы для квантового вычисления, поскольку результат работы квантовой схемы — вероятностная функция. Здесь мы не будем давать этого определения и отсылаем заинтересованного читателя к [20].

Потеря когерентности (decoherence).

Рассмотрим в качестве примера преобразование матриц плотности, которое "забывает" внедиагональные элементы:

$\rho=\sum_{j,k}^{}\rho_{jk}\ket{j}\bra{k} \stackrel{\scriptscriptstyle D}{\mapsto}\sum_{k}^{}\rho_{kk}\ket{k}\bra{k}.$

Покажем, что оно "физически реализуемо", т.е. может быть построено композицией описанных выше преобразований. Будем строить это преобразование в три шага. Вначале добавим нулевые биты:

$\rho\mapsto\rho\otimes\ket{0}\bra{0}.$

Затем скопируем обратимым образом исходные биты в добавленные. Обратимое копирование задается оператором $\QXOR\colon \ket{a,b}\mapsto \ket{a,a\oplus b}$ . Получаем

$\rho\otimes\ket{0}\bra{0} \stackrel{\scriptscriptstyle \QXOR}{\mapsto} \sum_{j,k}^{}\rho_{jk} \ket{j,j}\bra{k,k}.$

А теперь возьмем частичный след по добавленным битам. Получим диагональную матрицу

$\sum_{k}^{}\rho_{kk} \ket{k}\bra{k}.$

Предостережение. Рассмотренная нами "операция копирования"

$\ket{j}\mapsto \ket{j,j}, \qquad\qquad \sum_{j,k}^{}\rho_{jk}\ket{j}\bra{k} \mapsto \sum_{j,k}^{}\rho_{jk} \ket{j,j}\bra{k,k}$

(композиция первых двух преобразований) на самом деле копирует только базисные состояния. Заметим, что копирование произвольного квантового состояния $\ket{\xi}\mapsto\ket{\xi}\otimes\ket{\xi}$ является нелинейным оператором, поэтому не может быть реализовано физически. В дальнейшем копирование всегда будет определяться относительно некоторого базиса.

Замечание 10.2. Рассмотренное преобразование переводит любое состояние в классическое (с диагональной матрицей плотности), используя копирование битов. Это можно интерпретировать так: если постоянно наблюдать за системой (делать копии), то система будет вести себя как классическая. В случае одного q-бита то же самое преобразование (обнуление внедиагональных элементов) можно получить, если применить оператор $\sigma^z$ с вероятностью 1/2 :

$\rho \mapsto \frac{1}{2}\rho+\frac{1}{2}\sigma^z\rho\sigma^z.$

Подобный процесс называется случайным сбоем фазы: состояние $\ket{1}$ домножается на фазовый множитель

с вероятностью $\slashfrac{1}{2}$ . Таким образом, сбой фазы также приводит к тому, что система ведет себя как классическая.

Задача 10.5. Пусть имеется физически реализуемое преобразование $T\colon\LL(\calN)\to\LL(\calN\otimes\calF)$ со следующим свойством: $Tr_{\calF}(T\rho)=\rho$ для любого чистого состояния $\rho$ . Докажите, что тогда $TX=X\otimes\gamma$ (для любого оператора ), где $\gamma$ — некоторая фиксированная матрица плотности на пространстве $\calF$ .