Определение квантового вычисления. Примеры
Пока мы описали работу квантового компьютера. Теперь пора определить, когда эта работа приводит к решению интересующей нас задачи. Определение будет похоже на определение вероятностного вычисления.
Пусть есть функция . Рассмотрим квантовую схему, работающую с
битами:
. Неформально говоря, эта схема вычисляет
, если после применения
к начальному состоянию
, мы, "посмотрев" на первые
битов, с большой вероятностью "увидим"
. (Остальные q-биты могут содержать произвольный мусор.)
Нужно только оговорить, что такое эта вероятность. Слова "посмотрев" и "увидим" в точном смысле означают, что производится измерение значений соответствующих q-битов. В результате измерения могут получаться разные ответы, каждому соответствует своя вероятность. Ниже (раздел 9) этот вопрос рассматривается подробно. Для того, чтобы дать определение квантового вычисления функции , достаточно (не вдаваясь в обсуждение физических объяснений этого факта) принять следующее: вероятность получения базисного состояния,
при измерении состояния
равна
![]() |
( 8.1) |
Нас интересует вероятность того, что компьютер закончит работу в состоянии вида , где
— любое.
Определение 8.1. Схема вычисляет
, если для любого
выполнено








Как и для вероятностных вычислений, выбор несущественен, поскольку можно запустить несколько экземпляров схемы независимо и выбрать тот результат, который получается чаще всего. Из оценки, приведенной в
"Вероятностные алгоритмы и класс BPP. Проверка простоты числа"
, следует, что для уменьшения вероятности неудачи в
раз нужно взять
экземпляров схемы
. Выбор самого частого результата реализуется классической схемой, использующей функцию голосования
(она равна 1, когда более половины ее аргументов равны 1, и равна 0 в противном случае). Функция
реализуется в полном базисе схемой размера
, так что потеря эффективности при уменьшении вероятности неудачи в
раз задается множителем
.
Задача 8.1. Докажите, что приведенное рассуждение является корректным в квантовом случае: функция реализована в виде обратимой схемы, на вход которой подаются выходные q-биты
копий схемы
.