Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Донецкий национальный технический университет

|

Вам нравится? Нравится 52 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Лекция 8: Задача нелинейного программирования при ограничениях – неравенствах. Седловая точка и задача нелинейного программирования. Применение теоремы Куна – Таккера для задачи выпуклого программирования

A

|

версия для печати

3. Применение теоремы Куна – Таккера для задачи выпуклого программирования

Выше была рассмотрена задача НП в виде (1.1), (1.2), когда на переменные x_j не накладывались условия неотрицательности. Тем не менее часто в задачах исследования операций приходится решать задачи, в которых переменные x_j по физическим условиям должны удовлетворять условию $x_j \ge 0$ для всех $j=\overline{1,n}$ .

Покажем, как основные положения изложенной теории можно распространить и на этот случай. Действительно, пусть задача НП имеет вид:

$\text{минимизировать} \; f(x)$

( 3.1)

при ограничениях

$g_i(x) \le 0, \quad i=\overline{1,m} ;$

( 3.2)

$x_j \ge 0, \quad j=\overline{1,n}$

( 3.3)

Введем обозначения x_j = -h_j(x) . Тогда ограничения (3.3) можно записать в общем виде:

$h_j(x) \le 0, \quad j=\overline{1,n}$

( 3.4)

Теперь задача задана в каноническом виде (1.1), (1.2). Применим к ней теорему Куна-Таккера, для чего составим функцию Лагранжа:

$L(x, \Lambda, u) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i g_i(x) + \sum_{j=1}^n u_j h_j (x),$

( 3.5)

где $u_j \ge 0$ - множители, связанные с ограничениями $h_j(x) \le 0$ . Условия теоремы Куна-Таккера для (3.5) выглядят так:

$\nabla L(x, \Lambda, u)= \nabla j(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \nabla g_i(x) + \sum_{j=1}^n u_j \nabla h_j(x) = 0 ,$

или

$\frac{\partial L(x, \Lambda, u)}{\partial x_j} = \frac{\partial f(x)}{\partial x_j} + \sum_{i=1}^m \lambda_i \frac{\partial g_i(x)}{\partial x_j} -u_j = 0; \quad j=\overline{1,n}$

( 3.6)

$u_j x_j = 0, \; u_j \ge 0 ,$

( 3.7)

$\lambda_i g_i(x)=0, \; \lambda_i \ge 0.$

( 3.8)

Условия (3.5), (3.6), (3.7) можно записать в следующей эквивалентной форме:

$\frac{\partial L(x, \Lambda)}{\partial x_j} = \frac{\partial f(x)}{\partial x_j} + \sum_{i=1}^m \lambda_i \frac{\partial g_i(x)}{\partial x_j} = u_j \ge 0,$

( 3.9)

$\frac{\partial L(x, \Lambda)}{\partial x_j} \cdot x_j =0, \quad j=\overline{1,n}$

( 3.10)

Нетрудно увидеть, что условия (3.10) представляют собой условия дополняющей нежесткости для ограничений неотрицательности.

Таким образом, найдены необходимые условия для оптимального решения задачи НП вида (3.1) - (3.3), которые можно сформулировать в следующей теореме.

Теорема 3.1. Пусть задача НП задана в виде (3.1) - (3.3), а функции f(x) и g₁(x), g₂(x), ..., g_m(x) дифференцируемы и выпуклы (по x ). Вектор $x^0 \ge 0$ является оптимальным решением задачи НП тогда и только тогда, когда существует такой вектор $\Lambda \ge 0$ , что пара $(x^0 \Lambda_0)$ является седловой точкой функции Лагранжа, то есть выполняются такие условия:

$\frac{\partial L(x^0, \Lambda^0)}{\partial x_j} \ge 0, \; j=\overline{1,n} ;$

( 3.11)

$\frac{\partial L(x^0, \Lambda^0)}{\partial x_j} \cdot x_j^0 = 0, \; j=\overline{1,n} ;$

( 3.12)

$\frac{\partial L(x^0, \Lambda^0)}{\partial \lambda_i} = g_i(x^0) \le 0, \; i=\overline{1,m} ;$

( 3.13)

$\frac{\partial L(x^0, \Lambda^0)}{\partial \lambda_i} \cdot \lambda_i^0 = g_i(x^0)\lambda_i^0 = 0, \; i=\overline{1,m} .$

( 3.14)

Задача (3.1) - (3.3) при условиях, что все f()x, g_i(x) - выпуклые функции, является задачей выпуклого программирования. Ограничения $g_i(x) \le 0, i=\overline{1,m}$ , определяют выпуклое множество, и требуется найти минимум выпуклой функции f(x) на выпуклом множестве решений $R(x)= \left\{ x: g_i(x) \le 0, \; i=\overline{1,m} , \; x \ge 0 \right\}$ . Рассмотрим задачу вогнутого программирования.

$\text{максимизировать} f(x)$

( 3.15)

при ограничениях

$\left. \begin{aligned} g_1(x) \ge 0, \\ g_2(x) \ge 0, \\ .\;.\;.\;.\;.\;.\;.\;.\; \\ g_m(x) \ge 0, \end{aligned} \right\}$

( 3.16)

$x \ge 0.$

( 3.17)

где f(x) и все функции g_i(x) вогнуты по x.

Покажем ее эквивалентность задаче выпуклого программирования (3.1) - (3.3). Для этого обозначим $f'(x) = -f(x), \; g'_i(x) = -g_i(x)$ , и так как $\max f \sim \min - f(x)$ , то приходим к задаче:

$\text{минимизировать} f(x)$

( 3.18)

при ограничениях

$g'_i(x) \le 0, \; i=\overline{1,m} ;$

( 3.19)

$x \ge 0 .$

( 3.20)

Легко увидеть, что все функции f(x), g'_i(x) будут выпуклы по x, а поэтому задача (3.18) - (3.20) - это задача выпуклого программирования. Итак, эквивалентность задач (3.15) - (3.17) и (3.1) - (3.3) установлена.

Нетрудно получить соответствующие признаки оптимальности для задачи (3.15) - (3.17), аналогичные условиям (3.11) - (3.14).

Теорема 3.2. Пусть задача НП задана в виде (3.15) - (3.17), а функции $f(x), g_i(x), i=\overline{1,m}$ , - дифференцируемы . Для того чтобы вектор x⁰ являлся оптимальным решением этой задачи, необходимо, чтобы существовал такой вектор $\Lambda^0 \ge 0$ , для которого выполнялись бы такие условия:

$\text{а)} \qquad \frac{\partial L (x^0, \Lambda^0)}{\partial x_j} \le 0, \; j=\overline{1,n}$

( 3.21)

$\text{б)} \qquad \frac{\partial L (x^0, \Lambda^0)}{\partial x_j} \cdot x_j^0 = 0, \; j=\overline{1,n}$

( 3.22)

$\text{в)} \qquad \frac{\partial L (x^0, \Lambda^0)}{\partial \lambda_i} = g_i(x^0) \ge 0, \; i=\overline{1,m}$

( 3.23)

$\text{г)} \qquad \frac{\partial L (x^0, \Lambda^0)}{\partial \lambda_i} \cdot \lambda_i^0 = g_i(x^0) \lambda_i^0 = 0, \; i=\overline{1,m}$

( 3.24)

Если функции f(x), g_i(x) вогнуты, то условия (3.21) - (3.24) оказываются и достаточными.

Дальше >>

Введение в математическое программирование

Введение в математическое программирование

3. Применение теоремы Куна – Таккера для задачи выпуклого программирования

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в математическое программирование

Введение в математическое программирование

3. Применение теоремы Куна – Таккера для задачи выпуклого программирования

Вопросы и ответы

Студенты