НОУ ИНТУИТ | Введение в математическое моделирование. Лекция 11: Компьютерное моделирование при обработке опытных данных

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 15.03.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Донецкий национальный технический университет

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Интерполяция по Ньютону

Дана табличная функция:

i	x_i	y_i
0	x₀	y₀
1	x₁	y₁
2	x₂	y₂
...	...	...
n	x_n	y_n

или

$y_i = f(x_i), i=\overline{0,n}.$

( 11.1)

Точки с координатами (x_i, y_i) называются узловыми точками или узлами.

Количество узлов в табличной функции равно

N=n+1.

Необходимо найти значение этой функции в промежуточной точке, например, x=D, причем $D \in[x_0,x_n]$ .

Для решения задачи строим интерполяционный многочлен.

Интерполяционный многочлен по формуле Ньютона имеет вид:

$L_n(x) = f(x_0) + (x - x_0) \cdot f(x_0,x_1) +\\ + (x - x_0) \cdot(x - x_1) \cdot f(x_0,x_1,x_2) +\\ + (x - x_0) \cdot(x - x_1) \cdot(x - x_2) \cdot f(x_0,x_1,x_2,x_3) + \ldots +\\ + (x - x_0) \cdot(x - x_1) \cdot \ldots \cdot (x - x_{n-1}) \cdot f(x_0,x_1, \ldots,x_n),$

( 11.7)

где

n - степень многочлена,

$f(x_0), f(x_0,x_1), f(x_0,x_1,x_2), f(x_0,x_1,\ldots, x_n)$ - разделенные разности 0-го, 1-го, 2-го,:., n-го порядка, соответственно.

Разделенные разности

Значения f(x₀), f(x₁), : , f(x_n), т.е. значения табличной функции в узлах, называются разделенными разностями нулевого порядка (k=0).

Отношение $f(x_0,x_1) = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1 - x_0}$ называется разделенной разностью первого порядка (k=1) на участке [x₀, x₁] и равно разности разделенных разностей нулевого порядка на концах участка [x₀, x₁], разделенной на длину этого участка.

Для произвольного участка [x_i, x_i+1] разделенная разность первого порядка (k=1) равна

$f(x_i,x_{i+1}) = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1} - x_i}.$

Отношение $f(x_0,x_1,x_2) = \frac{f(x_1,x_2)-f(x_0,x_1)}{x_2 - x_0}$ называется разделенной разностью второго порядка (k=2) на участке [x₀, x₂] и равно разности разделенных разностей первого порядка, разделенной на длину участка [x₀, x₂].

Для произвольного участка [x_i, x_i+2] разделенная разность второго порядка (k=2) равна

$f(x_i,x_{i+1},x_{i+2}) = \frac{f(x_{i+1},x_{i+2}) - f(x_i,x_{i+1})}{x_{i+2} - x_i}$

Таким образом, разделенная разность k -го порядка на участке [x_i, x_i+k] может быть определена через разделенные разности (k-1) -го порядка по рекуррентной формуле:

$f(x_i,x_{i+1},x_{i+2}, \ldots,x_{i+k}) = \frac{ f(x_{i+1},x_{i+2}, \ldots,x_{i+k}) - f(x_i,x_{i+1}, \ldots,x_{i+k-1})}{x_{i+k} - x_i}$

( 11.8)

где

$k=\overline{1,n},$

$i=\overline{0,n-k},$

n - степень многочлена.

Максимальное значение k равно n. Тогда i =0 и разделенная разность n -го порядка на участке [x₀,x_n] равна $f(x_0,x_i, \ldots,x_n) = \frac{ f(x_1,x_2, \ldots,x_n) - f(x_0,x_1, \ldots,x_n-1)}{x_n - x_0}$ , т.е. равна разности разделенных разностей (n-1) -го порядка, разделенной на длину участка [x₀,x_n].

Разделенные разности $f(x_0,x_1), f(x_0,x_1,x_2), \ldots, f(x_0,x_1,\ldots, x_n)$ являются вполне определенными числами, поэтому выражение (11.7) действительно является алгебраическим многочленом n -й степени. При этом в многочлене (11.7) все разделенные разности определены для участков [x₀, x_0+k], $k=\overline{1,n}$ .

Лемма: алгебраический многочлен (11.7), построенный по формулам Ньютона, действительно является интерполяционным многочленом, т.е. значение многочлена в узловых точках равно значению табличной функции

$L_n(x_i) = f(x-i) = y_i; i=0,1, \ldots n.$

Докажем это. Пусть х=х₀, тогда многочлен (11.7) равен

Пусть х=х₁, тогда многочлен (11.7) равен

$L_n(x_1) = f(x_0) + (x_1 - x_0) \cdot f(x_0,x_1) = f(x_0) + (x_1 - x_0) \cdot \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = f(x_1) = y_1$

Пусть х=х₂, тогда многочлен (11.7) равен

$L_n(x_2) = f(x_0) + (x_2 - x_0) \cdot f(x_0,x_1) + (x_2 - x_0) \cdot (x_2 - x_1) \cdot f(x_0,x_1,x_2) =\\= f(x_0) + (x_2 - x_0) \cdot \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}+ (x_2 - x_0) \cdot (x_2 - x_1) \cdot \frac{f(x_1,x_2) - f(x_0,x_1)}{x_2 - x_0}= f(x_1) = y_1$

Заметим, что решение задачи интерполяции по Ньютону имеет некоторые преимущества по сравнению с решением задачи интерполяции по Лагранжу. Каждое слагаемое интерполяционного многочлена Лагранжа зависит от всех значений табличной функции y_i, i=0,1,:n. Поэтому при изменении количества узловых точек N и степени многочлена n (n=N-1) интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново. В многочлене Ньютона при изменении количества узловых точек N и степени многочлена n требуется только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых в формуле Ньютона (11.7). Это удобно на практике и ускоряет процесс вычислений.

Дальше >>

Введение в математическое моделирование

Введение в математическое моделирование

Компьютерное моделирование при обработке опытных данных

Интерполяция по Ньютону

Разделенные разности

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в математическое моделирование

Введение в математическое моделирование

Компьютерное моделирование при обработке опытных данных

Интерполяция по Ньютону

Разделенные разности

Вопросы и ответы

Студенты