Алгоритмы обнаружения и коррекции ошибок

Каналы передачи данных ненадежны (шумы, наводки и т.д.), да и само оборудование обработки информации работает со сбоями. По этой причине важную роль приобретают механизмы детектирования ошибок. Ведь если ошибка обнаружена, можно осуществить повторную передачу данных и решить проблему. Если исходный код по своей длине равен полученному коду, обнаружить ошибку передачи не предоставляется возможным. Можно, конечно, передать код дважды и сравнить, но это уже двойная избыточность.

Простейшим способом обнаружения ошибок является контроль по четности. Обычно контролируется передача блока данных ( М бит). Этому блоку ставится в соответствие кодовое слово длиной N бит, причем N>M. Избыточность кода характеризуется величиной 1-M/N. Вероятность обнаружения ошибки определяется отношением M/N (чем меньше это отношение, тем выше вероятность обнаружения ошибки, но и выше избыточность).

При передаче информации она кодируется таким образом, чтобы с одной стороны характеризовать ее минимальным числом символов, а с другой – минимизировать вероятность ошибки при декодировании получателем. Для выбора типа кодирования важную роль играет так называемое расстояние Хэмминга.

Пусть А и Б — две двоичные кодовые последовательности равной длины. Расстояние Хэмминга между двумя этими кодовыми последовательностями равно числу символов, которыми они отличаются. Например, расстояние Хэмминга между кодами 00111 и 10101 равно 2.

Можно показать, что для детектирования ошибок в n битах схема кодирования требует применения кодовых слов с расстоянием Хэмминга не менее N + 1. Можно также показать, что для исправления ошибок в N битах необходима схема кодирования с расстоянием Хэмминга между кодами не менее 2N + 1. Таким образом, конструируя код, мы пытаемся обеспечить расстояние Хэмминга между возможными кодовыми последовательностями большее, чем оно может возникнуть из-за ошибок.

Широко распространены коды с одиночным битом четности. В этих кодах к каждым М бит добавляется 1 бит, значение которого определяется четностью (или нечетностью) суммы этих М бит. Так, например, для двухбитовых кодов 00, 01, 10, 11 кодами с контролем четности будут 000, 011, 101 и 110. Если в процессе передачи один бит будет передан неверно, четность кода из М+1 бита изменится.

Предположим, что частота ошибок ( BER – Bit Error Rate) равна р = 10^-4. В этом случае вероятность передачи 8 бит с ошибкой составит 1 – (1 – p)⁸ = 7,9 х 10^-4. Добавление бита четности позволяет детектировать любую ошибку в одном из переданных битах. Здесь вероятность ошибки в одном из 9 битов равна 9p(1 – p)⁸. Вероятность же реализации необнаруженной ошибки составит 1 – (1 – p)⁹ – 9p(1 – p)⁸ = 3,6 x 10^-7. Таким образом, добавление бита четности уменьшает вероятность необнаруженной ошибки почти в 1000 раз. Использование одного бита четности типично для асинхронного метода передачи. В синхронных каналах чаще используется вычисление и передача битов четности как для строк, так и для столбцов передаваемого массива данных. Такая схема позволяет не только регистрировать, но и исправлять ошибки в одном из битов переданного блока.

Контроль по четности достаточно эффективен для выявления одиночных и множественных ошибок в условиях, когда они являются независимыми. При возникновении ошибок в кластерах бит метод контроля четности неэффективен, и тогда предпочтительнее метод вычисления циклических сумм ( CRC — Cyclic Redundancy Check). В этом методе передаваемый кадр делится на специально подобранный образующий полином. Дополнение остатка от деления и является контрольной суммой.

В Ethernet вычисление CRC производится аппаратно. На рис. 4.1 показан пример реализации аппаратного расчета CRC для образующего полинома R(x) = 1 + x² + x³ + x⁵ + x⁷. В этой схеме входной код приходит слева.

Рис. 4.1. Схема реализации расчета CRC

Эффективность CRC для обнаружения ошибок на многие порядки выше простого контроля четности. В настоящее время стандартизовано несколько типов образующих полиномов. Для оценочных целей можно считать, что вероятность невыявления ошибки в случае использования CRC, если ошибка на самом деле имеет место, равна (1/2)^r, где r — степень образующего полинома.

4.1. Алгоритмы коррекции ошибок

Исправлять ошибки труднее, чем их детектировать или предотвращать. Процедура коррекции ошибок предполагает два совмещеных процесса: обнаружение ошибки и определение места (идентификации сообщения и позиции в сообщении). После решения этих двух задач исправление тривиально — надо инвертировать значение ошибочного бита. В наземных каналах связи, где вероятность ошибки невелика, обычно используется метод детектирования ошибок и повторной пересылки фрагмента, содержащего дефект. Для спутниковых каналов с типичными для них большими задержками системы коррекции ошибок становятся привлекательными. Здесь используют коды Хэмминга или коды свертки.

Код Хэмминга представляет собой блочный код, который позволяет выявить и исправить ошибочно переданный бит в пределах переданного блока. Обычно код Хэмминга характеризуется двумя целыми числами, например, (11,7), используемыми при передаче 7-битных ASCII-кодов. Такая запись говорит, что при передаче 7-битного кода используется 4 контрольных бита (7 + 4 = 11). При этом предполагается, что имела место ошибка в одном бите и что ошибка в двух или более битах существенно менее вероятна. С учетом этого исправление ошибки осуществляется с определенной вероятностью. Например, пусть возможны следующие правильные коды (все они, кроме первого и последнего, отстоят друг от друга на расстояние Хэмминга 4):

00000000

11110000

00001111

11111111

При получении кода 00000111 нетрудно предположить, что правильное значение полученного кода равно 00001111. Другие коды отстоят от полученного на большее расстояние Хэмминга.

Рассмотрим пример передачи кода буквы s = 0x073 = 1110011 с использованием кода Хэмминга (11,7). Таблица 4.2.

Символами * помечены четыре позиции, где должны размещаться контрольные биты. Эти позиции определяются целой степенью 2 (1, 2, 4, 8 и т.д.). Контрольная сумма формируется путем выполнения операции XoR (исключающее ИЛИ) над кодами позиций ненулевых битов. В данном случае это 11, 10, 9, 5 и 3. Вычислим контрольную сумму:

11=	1011
10=	1010
09=	1001
05=	0101
03=	0011
	1110

Таким образом, приемник получит код

Просуммируем снова коды позиций ненулевых битов и получим нуль;

11=	1011
10=	1010
09=	1001
08=	1000
05=	0101
04=	0100
03=	0011
02=	0010
	0000

Ну а теперь рассмотрим два случая ошибок в одном из битов посылки, например в бите 7 (1 вместо 0) и в бите 5 (0 вместо 1). Просуммируем коды позиций ненулевых битов еще раз:

Таблица 4.3.

11= 1011 10= 1010 09= 1001 08= 1000 07= 0111 05= 0101 04= 0100 03= 0011 02= 0010 0111

11= 1011 10= 1010 09= 1001 08= 1000 04= 0100 03= 0011 02= 0010 0001

В обоих случаях контрольная сумма равна позиции бита, переданного с ошибкой. Теперь для исправления ошибки достаточно инвертировать бит, номер которого указан в контрольной сумме. Понятно, что если ошибка произойдет при передаче более чем одного бита, код Хэмминга при данной избыточности окажется бесполезен.

В общем случае код имеет N = M + C бит и предполагается, что не более чем один бит в коде может иметь ошибку. Тогда возможно N+1 состояние кода (правильное состояние и n ошибочных). Пусть М = 4, а N = 7, тогда слово-сообщение будет иметь вид: M4, M3, M2, C3, M1, C2, C1. Теперь попытаемся вычислить значения С1, С2, С3. Для этого используются уравнения, где все операции представляют собой сложение по модулю 2:

С1 = М1 + М2 + М4
С2 = М1 + М3 + М4
С3 = М2 + М3 + М4

Для определения того, доставлено ли сообщение без ошибок, вычисляем следующие выражения (сложение по модулю 2):

С11 = С1 + М4 + М2 + М1
С12 = С2 + М4 + М3 + М1
С13 = С3 + М4 + М3 + М2

Результат вычисления интерпретируется следующим образом:

Описанная схема легко переносится на любое число n и М.

Число возможных кодовых комбинаций М помехоустойчивого кода делится на n классов, где N — число разрешенных кодов. Разделение на классы осуществляется так, чтобы в каждый класс вошел один разрешенный код и ближайшие к нему (по расстоянию Хэмминга ) запрещенные коды. В процессе приема данных определяется, к какому классу принадлежит пришедший код. Если код принят с ошибкой, он заменяется ближайшим разрешенным кодом. При этом предполагается, что кратность ошибки не более q_m.

В теории кодирования существуют следующие оценки максимального числа N n -разрядных кодов с расстоянием D.

В случае кода Хэмминга первые k разрядов используются в качестве информационных, причем

K = n – log(n + 1), откуда следует (логарифм по основанию 2), что k может принимать значения 0, 1, 4, 11, 26, 57 и т.д., это и определяет соответствующие коды Хэмминга (3,1); (7,4); (15,11); (31,26); (63,57) и т.д.

Обобщением кодов Хэмминга являются циклические коды BCH (Bose-Chadhuri-hocquenghem). Эти коды имеют широкий выбор длин и возможностей исправления ошибок.

Одной из старейших схем коррекции ошибок является двух-и трехмерная позиционная схема ( рис. 4.2). Для каждого байта вычисляется бит четности (бит <Ч>, направление Х). Для каждого столбца также вычисляется бит четности (направление Y. Производится вычисление битов четности для комбинаций битов с координатами (X,Y) (направление Z, слои с 1 до N ). Если при транспортировке будет искажен один бит, он может быть найден и исправлен по неверным битам четности X и Y. Если же произошло две ошибки в одной из плоскостей, битов четности данной плоскости недостаточно. Здесь поможет плоскость битов четности N+1. Таким образом, на 512 передаваемых байтов данных пересылается около 200 бит четности.

Рис. 4.2. Позиционная схема коррекции ошибок