Алгоритмы сжатия данных

3.3. Сжатие данных с использованием преобразования Барроуза-Вилера

Майкл Барроуз и Давид Вилер (Burrows-Wheeler) в 1994 году предложили свой алгоритм преобразования ( BWT ). Этот алгоритм работает с блоками данных и обеспечивает эффективное сжатие без потери информации. В результате преобразования блок данных имеет ту же длину, но другой порядок расположения символов. Алгоритм тем эффективнее, чем больший блок данных преобразуется (например, 256-512 Кбайт или более).

Последовательность S, содержащая N символов ( {S(0), …, S(N-1)} ), подвергается N циклическим сдвигам (вращениям), лексикографической сортировке, а последний символ при каждом вращении извлекается. Из этих символов формируется строка L, где i -й символ является последним символом i -го вращения. Кроме строки L создается индекс I исходной строки S в упорядоченном списке вращений. Существует эффективный алгоритм восстановления исходной последовательности символов S на основе строки L и индекса I. Процедура сортировки объединяет результаты вращений с идентичными начальными символами. Предполагается, что символы в S соответствуют алфавиту, содержащему K символов. Под лексикографической сортировкой подразумевается упорядочение числовых кодов, которые получаются при подстановке ASCII-кодов вместо букв.

Для пояснения работы алгоритма возьмем последовательность S = 'abraca' (N = 6), алфавит X = {'a', 'b', 'c', 'r'}.

1. Формируем матрицу из N*N элементов, чьи строки представляют собой результаты циклического сдвига (вращений) исходной последовательности S, отсортированных лексикографически. По крайней мере одна из строк M содержит исходную последовательность S. Пусть I является индексом строки S. В приведенном примере индекс I = 1, а матрица M имеет вид
2. Пусть строка L представляет собой последнюю колонку матрицы M с символами L[0], …, L[N-1] (соответствуют M[0, N-1], …, M[N-1, N-1] ). Формируем строку последних символов вращений. Окончательный результат характеризуется (L,I). В данном примере L = 'caraab', I = 1.

Процедура декомпрессии использует L и I. Целью этой процедуры является получение исходной последовательности из N символов (S).

1. Сначала вычисляем первую колонку матрицы M (F). Это делается путем сортировки символов строки L. Каждая колонка исходной матрицы M представляет собой перестановки исходной последовательности S. Таким образом, первая колонка F и L являются перестановками S. Так как строки в M упорядочены, размещение символов в F также упорядочено. F = 'aabcr'.

2. Рассматриваем ряды матрицы M, которые начинаются с заданного символа ch. Строки матрицы М упорядочены лексикографически, поэтому строки, начинающиеся с ch, упорядочены аналогичным образом. Определим матрицу M', которая получается из строк матрицы M путем циклического сдвига на один символ вправо. Для каждого i = 0, …, N-1 и каждого j = 0, …, N-1,

M'[i,j] = m[i, (j-1) mod N]

В рассмотренном примере M и M' имеют вид

Подобно M, каждая строка M' является вращением S, и для каждой строки M существует соответствующая строка M'. M' получена из M так, что строки M' упорядочены лексикографически, начиная со второго символа. Таким образом, если мы рассмотрим только те строки M', которые начинаются с заданного символа ch, они должны следовать упорядоченным образом с учетом второго символа. Следовательно, для любого заданного символа ch строки M, которые начинаются с ch, появляются в том же порядке, что и в M', начинающиеся с ch. В нашем примере это видно на примере строк, начинающихся с 'a'. Строки 'aabrac', 'abraca' и 'acaabr' имеют номера 0, 1 и 2 в M и 1, 3, 4 в M'.

Используя F и L, первые колонки M и M', мы вычислим вектор Т, который указывает на соответствие между строками двух матриц, с учетом того, что для каждого j = 0,…,N-1 строки j M' соответствуют строкам T[j] M.

Если L[j] является к -м появлением ch в L, тогда T[j] = 1, где F[i] является к -м появлением ch в F. Заметьте, что Т представляет соответствие один в один между элементами F и элементами L, а F[T[j]] = L[j]. В нашем примере T равно (4 0 5 1 2 3).

3. Теперь для каждого i = 0, …, N-1 символы L[i] и F[i] являются соответственно последними и первыми символами строки i матрицы M. Так как каждая строка является вращением S, символ L[i] является циклическим предшественником символа F[i] в S. Из Т мы имеем F[T[j]] = L[j]. Подставляя i = T[j], мы получаем символ L[T(j)], который циклически предшествует символу L[j] в S.

Индекс I указывает на строку М, где записана строка S. Таким образом, последний символ S равен L[I]. Мы используем вектор T для получения предшественников каждого символа: для каждого i = 0, …, N-1 S[N-1-i] = L[Tⁱ[I]], где T⁰[x] = x, а Tⁱ⁺¹[x] = T[Tⁱ[x]. Эта процедура позволяет восстановить первоначальную последовательность символов S ('abraca').

Последовательность Tⁱ[I] для i = 0, …, N-1 не обязательно является перестановкой чисел 0, …, N-1. Если исходная последовательность S является формой Z^p для некоторой подстановки Z и для некоторого p>1, тогда последовательность Tⁱ[I] для i = 0, …, N-1 будет также формой Z'^p для некоторой субпоследовательности Z'. Таким образом, если S = 'cancan', Z = 'can' и p = 2, то последовательность Tⁱ[I] для i = 0, …, N-1 будет [2, 4, 0, 2, 4, 0].

Описанный выше алгоритм упорядочивает вращения исходной последовательности символов S и формирует строку L, состоящую из последних символов вращений. Для того чтобы понять, почему такое упорядочение приводит к более эффективному сжатию, рассмотрим воздействие на отдельную букву в обычном слове английского текста.

Возьмем в качестве примера букву "t" в слове "the" и предположим, что исходная последовательность содержит много таких слов. Когда список вращений упорядочен, все вращения, начинающиеся с "he", будут взаимно упорядочены. Один отрезок строки L будет содержать непропорционально большое число "t", перемешанных с другими символами, которые могут предшествовать "he", такими как пробел, "s", "T" и "S".

Аналогичные аргументы могут быть использованы для всех символов всех слов, таким образом, любая область строки L будет содержать большое число некоторых символов. В результате вероятность того, что символ "ch" встретится в данной точке L, весьма велика, если ch встречается вблизи этой точки L, и мала в противоположном случае. Это свойство способствует эффективной работе локально адаптивных алгоритмов сжатия, где кодируется относительное положение идентичных символов. В случае применения к строке L такой кодировщик будет выдавать малые числа, которые могут способствовать эффективной работе последующего кодирования, например, посредством алгоритма Хаффмана.