Отношение "сигнал-шум" в цифровых системах связи

Очень важной характеристикой производительности цифровых систем связи является отношение "сигнал-шум".

Отношение "сигнал-шум" - это отношение энергии сигнала на 1 бит к плотности мощности шумов на 1 герц ( \[ E_b /N_0 \] ). Рассмотрим сигнал, содержащий двоичные цифровые данные, передаваемые с определенной скоростью - R бит/с. Напомним, что 1 Вт = 1 Дж/с, и вычислим удельную энергию одного бита сигнала: E_b = ST_b (где S - мощность сигнала; T_b - время передачи одного бита). Скорость передачи данных R можно выразить в виде \[ R = 1/T_b \] . Учитывая, что тепловой шум, присутствующий в полосе шириной 1 Гц, для любого устройства или проводника составляет

\[ N_0 = kT(Вт/Гц), \]

где N₀ - плотность мощности шумов в ваттах на 1 Гц полосы; k - постоянная Больцмана, \[ k = 1,3803 \times 10^{ - 23} Дж/К \] ; T - температура в Кельвинах (абсолютная температура), то, следовательно,

\[ \frac{{E_b }}{{N_0 }} = \frac{{S/R}}{{N_0 }} = \frac{S}{{kTR}} \]

Отношение \[ E_b /N_0 \] имеет большое практическое значение, поскольку скорость появления ошибочных битов является (убывающей) функцией данного отношения. При известном значении \[ E_b /N_0 \] , необходимом для получения желаемого уровня ошибок, можно выбирать все прочие параметры в приведенном уравнении. Следует отметить, что для сохранения требуемого значения \[ E_b /N_0 \] при повышении скорости передачи данных R придется увеличивать мощность передаваемого сигнала по отношению к шуму.

Довольно часто уровень мощности шума достаточен для изменения значения одного из битов данных. Если же увеличить скорость передачи данных вдвое, биты будут "упакованы" в два раза плотнее, и тот же посторонний сигнал приведет к потере двух битов информации. Следовательно, при неизменной мощности сигнала и шума увеличение скорости передачи данных влечет за собой возрастание уровня возникновения ошибок.

Пример 12.1

Рассмотрим метод кодирования сигнала, для которого необходимо, чтобы отношение \[ E_b /N_0 \] равнялось 8,4 дБ при частоте возникновения ошибок 10^-4 (ошибочным является 1 бит из каждых 10000). Если эффективная температура теплового шума равна 290 К, а скорость передачи данных - 1 Мбит/с, какой должна быть мощность сигнала, чтобы преодолеть тепловой шум?

Решение:

По формуле (12.2) находим S:

\[ S = \frac{{E_b }}{{N_0 }}kTR \]

Для упрощения расчетов переведем это выражение в логарифмы:

\[ S_{дБВт} = 10\log _{10} \left( {\frac{{E_b }}{{N_0 }}kTR} \right) = \left( {\frac{{E_b }}{{N_0 }}} \right)_{дБ} + 10\log _{10} (kTR) \]

Так как 1 Мбит = 1048576 бит, то

\[ S_{дБВт} = 8,4 + 10\log _{10} (1,38 \cdot 10^{ - 23} \cdot 290 \cdot 1048576) = - 135,37 \]

или

\[ S = 10^{\frac{{S_{дБВт} }}{{10}}} = 2,904 \cdot 10^{ - 14} Вт \]

Следовательно, для того чтобы преодолеть тепловой шум, необходима мощность 35,37 дБВт.