Устойчивость и эффективность поведения сторон: совместимость свойств устойчивости и эффективности

Часть плоскости , содержащая решения неравенств (3.28), отмечена цифрой 1 на рис. рис.1.8.

Теперь рассмотрим пары (q₁,q₂), удовлетворяющие условиям

Согласно (3.11), при линейный отрезок (3.27), лежащий в плоскости (q₁,q₂), отображается на отрезок прямой При этом случаю соответствует отрезок прямой (3.29), определяемый условиями , (см. рис.1.5). Следовательно, часть плоскости (q₁,q₂), точки которой удовлетворяют неравенствам имеет образ на плоскости , определяемый условиями Указанные области помечены цифрой 2 соответственно на рис.1.5 и на рис.1.8.

Отрезок прямой (3.29), соответствующий случаю , определяется дополнительными условиями , . При этом

причем указанному в (3.3) максимальному значению соответствует случай, когда Таким образом, часть плоскости (q₁,q₂), точки которой удовлетворяют неравенствам имеет образ на плоскости критериев, определяемый условиями Указанные области (3.32) и (3.33) помечены цифрой 3 соответственно на рис.1.5 и рис. 1.8.

Рассмотрим некоторую точку , лежащую на границе

выделенной жирной линией на рис.1.8. Очевидно, что все точки , лежащие под отрезком (3.34) в пределах прямоугольного конуса с вершиной в точке доминируются этой точкой, т.е. , . При этом сама точка является неулучшаемой в пределах образа первого квадранта плоскости решений (q₁,q₂) на плоскости критериев . Следовательно, точки отрезка (3.34) составляют множество образов всех оптимальных по Парето решений для рассматриваемого примера.

Согласно (3.30) и (3.31), множество всех эффективных решений, являющееся прообразом отрезка (3.34), составляет отрезок

см. рис.1.6. Этот отрезок не содержит точки равновесия (x^*,y^*) из (3.17). Соответственно, определяемый условиями (3.19) образ этой точки, отмеченный на рис.1.8, не принадлежит "паретовской" части границы (3.34).

Замечание 1.12 (о стимулах к кооперации). Рассмотренный пример показывает, что свойство устойчивости по Нэшу и свойство оптимальности по Парето могут не совмещаться ни в одном решении. Например, лежащая на отрезке эффективных решений (3.35) точка с координатами

образ которой на плоскости критериев принадлежит паретовской границе (3.34) и имеет координаты обеспечивает обеим фирмам большую прибыль, чем устойчивое решение (3.17); ср. (3.19) и (3.37). Однако решение (3.36) является неустойчивым при поведении сторон.

Указанное обстоятельство определяет заинтересованность этих сторон в обеспечении согласованности действий, направленных на увеличение прибыли. Анализ практики коллективных действий производителей одного и того же товара обнаруживает существование многих различных форм такого сотрудничества, к математическому исследованию проблем которого мы вернемся в гл. 3.

Картели^{6Картель - объединение фирм, участники которого договариваются о рынках сбыта, условиях продажи, ценах, сроках платежа, размерах производства, совместном финансировании, сохраняя производственную и коммерческую самостоятельность.} , синдикаты^{7Синдикат - объединение предпринимателей, осуществляющее всю коммерческую деятельность при сохранении юридической и производственной самостоятельности участников (одна из форм монополии).} и тресты^{8Трест - объединение, при котором участники теряют самостоятельность.} могут интерпретироваться как организационные формы, создаваемые в указанных целях.