Поля

Итоги раздела конечные поля

Конечное поле GP (2ⁿ) может использоваться для того, чтобы определить четыре операции — сложение, вычитание, умножение и деление n -битных слов. Только деление на нуль не определено. Каждое n -битовое слово может быть представлено как полином степени n – 1 с коэффициентами в GF(2), — это означает, что операции на n -битовых словах могут быть представлены как операции на этом полиноме. При умножении двух полиномов необходимо сделать эти операции операциями по модулю. Для этого мы должны определить неприводимый полином степени n. Чтобы найти мультипликативные инверсии к полиномам, может быть применен расширенный алгоритм Евклида.

Рекомендованная литература

Нижеследующие книги и сайты обеспечивают более детальное рассмотрение понятий, обсужденных в этой лекции.

Книги

[Dur05], [Ros06J], [Bla03], [BW00] и [DF04] основательно рассматривают алгебраические структуры.

Сайты

Нижеследующие сайты дают больше информации о темах, обсуждаемых в этой лекции.

• http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_structure
• http: // en.wikipedia.org/wiki/Ring _ % 28mathematics%29
• http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomials
• http: // www.math.niu.edu / ~ rusin/known-math/index/20-XX.html
• http: // www.math.niu.edu / ~ rusin/known-math/index/13-XX.html
• http://www.hypermaths.org/quadibloc/math/abaint.htm
• http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_field

Итоги

• Криптография требует заданных множеств и операций, определенных на этих множествах. Комбинации множеств и операций, приложенных к элементам этих множеств, есть алгебраическая структура. Были введены три алгебраических структуры: группы, кольца и поля.
• Группа — алгебраическая структура с бинарной операцией, удовлетворяющая четырем свойствам: замкнутость, ассоциативность, существование тождества (единичного элемента) и существование инверсии. Коммутативная группа, также называемая абелевой группой, — группа, оператор которой удовлетворяет дополнительному свойству: коммутативности.
• Подмножество H группы G — подгруппа G, если само H является группой с соответствующими операциями на G. Если подгруппа группы может быть сгенерирована, используя степень элемента, подгруппа называется циклической подгруппой. Циклическая группа — это собственная циклическая подгруппа группы.
• Теорема Лагранжа связывает порядок группы и порядок ее подгруппы. Если порядок групп G и H соответственно |G| и |H|, тогда |H| делит |G|.
• Порядок элемента a в группе — наименьшее положительное целое число n, такое, что aⁿ = e (единичному элементу).
• Кольцо — алгебраическая структура с двумя операциями. Первая операция должна удовлетворять всем пяти свойствам, требуемым для абелевой группы. Вторая операция должна удовлетворять только первым двум. Кроме того, вторая операция должна быть совместно с первой дистрибутивной. Коммутативное кольцо — это кольцо, в котором вторая операция удовлетворяет свойству коммутативности.
• Поле — коммутативное кольцо, в котором вторая операция удовлетворяет пяти свойствам, определенным для первой операции, за одним исключением: единичный элемент первой операции не имеет инверсии. Конечное поле, также называемое полем Галуа, — поле с элементами pⁿ, где p — простое число, а n — положительное целое число. GF(pⁿ) поля используется в операциях на n-битовых словах в криптографии.
• Для того чтобы представить n -битовые слова, используются полиномы с коэффициентами в GF(2). Сложение и умножение n -битовых слов могут быть определены как сложение и умножение полиномов. Иногда проще определить элементы GF(2ⁿ) -поля, используя генератор. Если g — генератор поля, то f(g) = 0. Нахождение инверсий и выполнение операций на элементах поля становятся более простыми, когда элементы представлены как степени генератора поля.

Вопросы и упражнения

Обзорные вопросы

1. Определите алгебраическую структуру и назовите три алгебраических структуры, обсужденные в этой лекции.
2. Определите группу и приведите различия между группой и коммутативной группой.
3. Определите кольцо и приведите различия между кольцом и коммутативным кольцом.
4. Определите поле и приведите различия между бесконечным полем и конечным полем.
5. Покажитеь число элементов в поле Галуа для простого числа.
6. Дайте один пример группы, использующей множество вычетов (операций по модулю).
7. Дайте один пример кольца, использующего множество вычетов (операций по модулю).
8. Дайте один пример поля, использующего множество вычетов (операций по модулю).
9. Покажите, как полином может представить n-битовое слово.
10. Определите неприводимый полином.

Упражнения

1. Для группы G = <Z₄, +>:
   • Докажите, что это — абелева группа.
   • Покажите результат операций 3 + 2 и 3–2 в этой группе.
2. Для группы :
   • Докажите, что это — абелева группа.
   • Покажите результат операций и .
   • Покажите, почему мы не должны беспокоиться о делении на нуль в этой группе.
3. В таблице 5.1 для группы была определена только одна операция. Предположим, что эта операция — сложение. Покажите таблицу для операции вычитания (обратная операция).
4. Докажите, что перестановка в группе, показанной в таблице 5.2, не является коммутативной.
5. Докажите, что перестановка в группе, показанной в таблице 5.2, частично, в нескольких случаях, удовлетворяет свойству ассоциативности.
6. Создайте таблицу перестановки для двух входов и двух выходов, подобных показанным в таблице 5.2.
7. Алиса применяет три последовательных перестановки — [1 3 2], [3 2 1] и [2 1 3]. Покажите, как Боб может использовать только одну перестановку, чтобы изменить процесс на противоположный. Пользуйтесь таблицей 5.2.
8. Найдите все подгруппы следующих групп:
   • 
   • 
   • 
   • 
9. Используя теорему Лагранжа, найдите порядок всех потенциальных подгрупп для следующих групп:
   • 
   • 
   • 
   • 
10. Найдите порядок всех элементов в следующих группах:
    • 
    • 
    • 
    • 
11. Повторите пример 6.12, используя неприводимый полином f(x) = x⁴ + x³ +1.
12. Повторите пример 6.13, используя неприводимый полином f(x) = x⁴ + x³ +1.
13. Повторите пример 6.12, используя неприводимый полином f(x) = x⁴ + x³ +1.
14. Какое выражение из нижеследующих является правильным полем Галуа?
    • GF(12)
    • GF(13)
    • GF(16)
    • GF(17)
15. Для каждого из следующих n -битовых слов найдите полиномы, которые представляют эти слова.
    • 10010
    • 10
    • 100001
    • 00011
16. Найдите n -битовое слово, которое представлено каждым из следующих полиномов:
    • x² + 1 в GF(2⁴)
    • x² + 1 в GF(2⁵)
    • x + 1 в GF(2³)
    • x⁷ в GF(2⁸)
17. В поле GF(7) найдите результат следующих операций:
    • 5+3
    • 5–4
    • 
    • 
18. Докажите, что (x) и (x + 1) — неприводимые полиномы степени 1.
19. Докажите, что (x² + x + 1) — неприводимый полином степени 2.
20. Докажите, что (x³ + x² + 1) — неприводимый полином степени 3.
21. Умножьте следующие 2 -битовые слова, используя полиномы:
    • (11) x (10)
    • (1010) x (1000)
    • (11100) x (10000)
22. Найдите мультипликативную инверсию следующих полиномов в GF(2²). (Заметим, что для этого поля есть только один модуль.)
    • 1
    • x
    • x + 1
23. Используйте расширенный евклидов алгоритм, чтобы найти инверсию (x⁴ + x³ + 1) в GF(2⁵), применяя модуль (x⁵ + x² + 1).
24. Создайте таблицу сложения и умножения для GF(2⁴), используя (x⁴ + x³ + 1) как модуль.
25. Используя таблицу 6.7, выполните следующие операции:
    • 
    • 
    • 
    • 
26. Покажите, как умножить (x³ + x² + x + 1) (x² + 1) в GF(2⁴), используя алгоритм, приведенный в таблице 6.5, и пользуясь (x⁴ + x³ + 1) как модулем.
27. Покажите, как умножить (10101) на (10000) в GF(2⁵), используя алгоритм, приведенный в таблице 6.5, и пользуясь (x⁵ + x² + 1) как модулем.