НОУ ИНТУИТ | Математика криптографии и теория шифрования. Лекция 6: Поля

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 19.01.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 71 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Использование генератора

Иногда проще определить элементы поля GF(2ⁿ), используя генератор. В этом поле с неприводимым полиномом f(x) и элементом поля a нужно удовлетворить отношение f(а) = 0. В частности, если g — генератор поля, то f(g)=0. Тогда можно доказать, что элементы поля могут быть сгенерированы как

{0, g,g, g²,.... gⁿ}, где N = 2ⁿ – 2

Таблица 6.6. Сложение в поле GF(2 в степени 3)
$\oplus$	000 (0)	001 (1)	010 (x)	011 (x+1)	100 (x²)	101 (x²+1)	110 (x² + x)	111 (x²+x+1)
000 (0)	000 (0)	001 (1)	010 (x)	011 (x+1)	100 (x²)	101 (x²+1)	110 (x² + x)	111 (x²+x+1)
001 (1)	001 (1)	000 (0)	011 (x+1)	010 (x²)	101 (x²+1)	100 (x²+x)	111 (x²+x+1)	110 (x² + x)
010 (x)	010 (x)	011 (x+1)	000 (0)	001 (1)	110 (x² + x)	111 (x²+x+1)	100 (x²+x)	101 (x²+1)
011 (x+1)	011 (x+1)	010 (x)	001 (1)	000 (0)	111 (x²+x+1)	110 (x² + x)	101 (x²+1)	100 (x²)
100 (x²)	100 (x²)	101 (x²+1)	110 (x² + x)	111 (x²+x+1)	000 (0)	001 (1)	010 (x)	011 (x+1)
101 (x²+1)	101 (x²+1)	100 (x²)	111 (x²+x+1)	110 (x² + x)	001 (1)	000 (0)	011 (x+1)	010 (x)
110 (x² + x)	110 (x² + x)	111 (x²+x+1)	100 (x²)	101 (x²+1)	010 (x)	011 (x+1)	000 (0)	001 (1)
111 (x²+x+1)	111 (x²+x+1)	110 (x² + x)	101 (x²+1)	100 (x²)	011 (x+1)	010 (x)	001 (1)	000 (0)

Таблица 6.7. Умножение в поле GF(2 в степени 3)
$\oplus$	001 (1)	010 (x)	011 (x+1)	100 (x²)	101 (x²+1)	110 (x² + x)	111 (x²+x+1)
000 (0)	000 (0)	000 (0)	000 (0)	000 (0)	000 (0)	000 (0)	000 (0)
001 (1)	001 (1)	010 (x)	011 (x+1)	100 (x²)	101 (x²+1)	110 (x² + x)	111 (x²+x+1)
010 (x)	010 (x)	100 (x)	110 (x² + x)	101 (x²+1)	111 (x²+x+1)	001 (1)	011 (x+1)
011 (x+1)	011 (x+1)	110 (x² + x)	101 (x²+1)	001 (1)	010 (x)	111 (x²+x+1)	100 (x²)
100 (x²)	100 (x²)	101 (x²+1)	001 (1)	111 (x²+x+1)	011 (x+1)	010 (x)	110 (x² + x)
101 (x²+1)	101 (x²+1)	111 (x²+x+1)	010 (x)	011 (x+1)	110 (x² + x)	100 (x²)	001 (1)
110 (x² + x)	110 (x² + x)	001 (1)	111 (x²+x+1)	010 (x)	100 (x²)	011 (x+1)	101 (x²+1)
111 (x²+x+1)	111 (x²+x+1)	011 (x+1)	100 (x²)	110 (x² + x)	001 (1)	101 (x²+1)	010 (x)

Пример 6.11

Для генерирования элементов поля GF(2⁴) используйте полином f(x) = x⁴ + x +1.

Решение

Элементы 0, g⁰, g¹, g² и g³ могут быть сгенерированы достаточно просто, потому что в 4 -битовом поле они представлены 0, x⁰, x ¹, x² и x³ (не требуется деления на полином). Элементы от g⁴ до g¹⁴, которые представляют g⁴ до g¹⁴ от x⁴ до x¹⁴, нужно разделить на неприводимый полином. Для такого деления можно использовать полином f(g) = g⁴ + g +1 = 0. Применив это отношение, мы имеем g⁴ = –g–1. поскольку сложение полей и вычитание полей — та же самая операция, g⁴ = g + 1. Мы используем это отношение, чтобы найти значение всех элементов в виде 4 -битовых слов:

0 = 0 = 0 = 0 -> 0=(0000)
g⁰ =	g¹ = g¹ -> g¹ = (0010)
g² =	g² = g² -> g² = (0100)
g³ =	g³ = g³ -> g³ = (1000)
g⁴ =	g⁴ = g + 1 -> g⁴ = (0011)
g⁵ =	g(g + 1) = g² + g -> g⁵ = (0110)
g⁶ =	g(g² + g) = g³ + g² -> g⁶ = (1100)
g⁷ =	g(g³ + g) = g³ + g + 1 -> g⁷ = (1011)
g⁸ =	g(g³ + g + 1) = g² + 1 -> g⁸= (0101)
g⁹ =	g(g² + 1) = g³ + g -> g⁹ = (1010)
g¹⁰ = g(g³ + g) = g² + g + 1 -> g¹⁰ = (0111)
g¹¹ = g(g² + g + 1) = g³ + g² + g -> g¹¹ = (1110)
g¹² = g(g³ + g² + g) = g³ + g² + g + 1 -> g¹² = (1111)
g¹³ = g(g³ + g² + g + 1) = g³ + g² + 1 -> g¹³ = (1101)
g¹⁴ = g(g³ + g² + 1) = g³ + 1 -> g¹⁴ = (1001)

Главная идея состоит в том, что вычисление элементов поля от g⁴ до g¹⁴ сводится к использованию соотношения g⁴ = g +1 и предыдущих вычислений. Например,

g¹² = g(g¹¹) =g(g³ + g² + g) = g⁴ + g³ + g² = g³ + g² + g + 1

После сокращения можно просто преобразовать степени в n -битовое слово. Скажем, g³ + 1 эквивалентно 1001, потому что присутствуют элементы со степенью 0 и 3. Заметим, что элементы с одинаковой степенью при таком процессе вычисления отменяют друг друга. Например, g² + g² = 0.

Инверсии

Нахождение инверсий при использовании приведенного выше метода представления достаточно просто.

Аддитивные инверсии

Аддитивная инверсия каждого элемента — элемент непосредственно, потому что сложение и вычитание в этом поле — одна и та же операция, g³ = g³.

Мультипликативные инверсии

Найти мультипликативную инверсию каждого элемента также очень просто. Например, может найти мультипликативную инверсию элемента g³, как показано ниже:

${\left( {{{\text{g}}^{\text{3}}}} \right)^{ - {\text{1}}}} = {{\text{g}}^{ - {\text{3}}}} = {{\text{g}}^{{\text{12}}}} = {{\text{g}}^{\text{3}}} + {{\text{g}}^{\text{2}}} + {\text{g}} + {\text{1}} \to \left( {{\text{1111}}} \right)$

Заметим, что в этом случае степень рассчитывается по модулю 2ⁿ – 1, 2⁴ – 1 = 15.

Поэтому –3 mod 15 = 12 mod 15.

Можно легко доказать, что g³ и g¹² есть инверсные (обратные числа), потому что g³ g¹² = g¹⁵ = g⁰ = 1.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание — это одинаковые операции. Промежуточные результаты могут быть упрощены, как проиллюстрировано в следующем примере.

Пример 6.12

Этот пример показывает результаты операций сложения и вычитания:

a. $\left( {{g^3} + {g^{12}} + {g^7}} \right) = {g^3} + \left( {{g^3} + {g^2} + g + 1} \right) + \left( {{g^3} + g + 1} \right) = {g^3} + {g^2} \to \left( {{\text{11}}00} \right)$

b. ${g^3}-{g^6} = {g^3} + {g^6} = {g^3} + ({g^3} + {g^2}) = {g^2} \to \left( {0{\text{1}}00} \right)$

Умножение и деление

Умножение есть сложение степени по модулю 2ⁿ – 1. Деление — это умножение, которое использует мультипликативную инверсию.

Пример 6.13

Ниже показаны операции умножения и деления:

а. ${g^9} \times {g^{11}} = {g^{20}} = {g^{20\bmod 15}} = {g^5} = {g^2} + g \to \left( {0110} \right)$

б. ${g^3}/{g^8} = {g^3} \times {g^7} = {g^{10}} = {g^2} + g + 1 \to \left( {0111} \right)$

Дальше >>

Информационная безопасность

Математика криптографии и теория шифрования