Опубликован: 01.09.2008 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Лекция 5:

Доходность и риск

5.5. Количественное измерение риска

Средняя арифметическая ожидаемых доходностей ( r_i ) инвестиций, взвешенная по вероятности возникновения отдельных значений, называется математическим ожиданием. Условимся называть эту величину средней ожидаемой доходностью:

\bar r=\sum\limits_{i}r_2*p_i ( 5.5.1)

где p_iвероятность получения доходности r_i.

В статистике количественным измерителем степени разброса значений переменной вокруг ее средней величины (математического ожидания) является показатель дисперсии ( \sigma^2 ):

\sigma^2=\sum\limits_{i}(r_i-\bar r)^2*p_i ( 5.5.2)

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим или стандартным отклонением \sigma:

\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\sum\limits_{i}(r_i-\bar r)^2*p_i} ( 5.5.3)

Данный показатель используется в финансовом менеджменте для количественного измерения степени риска планируемых инвестиций. Чем больше разброс ожидаемых значений доходности вложений вокруг их среднеарифметической величины, тем выше риск, сопряженный с данным вложением. Фактическая величина доходности может быть как значительно выше, так и значительно ниже ее средней величины.

Практическая ценность такого подхода заключается не только (и не столько) в применении статистических формул, а в осознании необходимости многовариантного планирования инвестиционных решений. Любые ожидаемые результаты этих решений могут носить лишь вероятностный характер. От финансиста требуется не только правильно применить формулу расчета доходности инвестиций, но и дать количественную оценку вероятности возникновения конкретного результата. Как минимум, необходимо планировать не менее трех вариантов развития событий: оптимистический, пессимистический и наиболее вероятный. Полная вероятность возникновения всех этих вариантов должна быть равна 1.

Например, оценивая две акции А и Б, инвестор пришел к выводу, что распределение вероятностей их ожидаемой доходности можно представить следующим образом:

Таблица 5.7. Распределение вероятностей доходности акций
Варианты прогноза Вероятность Доходность, %
акция А акция Б акция А акция Б
Оптимистический 0,3 0,3 100 20
Реалистический 0,4 0,4 15 15
Пессимистический 0,3 0,3 -70 10

Среднеарифметическая ожидаемая доходность (математическое ожидание), взвешенная по вероятности каждого варианта составит:

для акции А \bar {r_A}=100*0,3+15*0,4+-70*0,3=15\%

для акции Б \bar {r_B}=20*0,3+15*0,4+10*0,3=15\%

То есть, с точки зрения ожидаемой доходности инвестору безразлично, какую именно акцию приобрести – любая из них должна принести ему 15% дохода. Однако, данная логика рассуждений ошибочна. Прежде всего инвестор должен оценить величину риска, сопряженного с каждым из сравниваемых активов. Для этого ему следует рассчитать стандартные отклонения доходности \sigma по каждой ценной бумаге. Выполним эти расчеты в табл. 5.8:

Таблица 5.8. Расчет среднего квадратического отклонения
Акция r_i p_i \bar r r_i-\bar r (r_i-\bar r)^2*p_i
А 100 0,3 15 85 2167,5
15 0,4 15 0 0
-70 0,3 15 -85 2167,5
Итого А: 1 0 4335
\sigma_{A} \sqrt{4335}=65,841
Б 20 0,3 15 5 7,5
15 0,4 15 0 0
10 0,3 15 -5 7,5
Итого Б: 1 0 15
\sigmaБ \sqrt{15}=3,873

Разброс значений ожидаемой доходности по акции А почти в 20 раз больше, чем по акции Б. Очевидно, что первое вложение является более рискованным, поэтому предлагаемая по нему компенсация риска в виде 15%-ой доходности абсолютно недостаточна. Точно такую же среднюю ожидаемую доходность способна принести менее рискованная акция Б. Схема на рис. 5.2 наглядно иллюстрирует разброс ожидаемых значений доходности по двум акциям: он значительно шире по первому активу (А).На этой схеме изображено распределение вероятностей. В данном случае оно является дискретным, прерывистым, поэтому данные представлены в форме столбцов (гистограмма). В случае непрерывного распределения, график представляет собой плавную кривую.

Тесноту связи двух переменных в статистике измеряют при помощи коэффициентов корреляции, которые рассчитываются по формуле:

\rho_А_Б=\frac{C_o_v(А,Б)}{\sigma_А*\sigma_Б ( 5.5.4)

где Cov(А, Б) – коэффициент ковариации между доходностью акций А и Б.

Коэффициент ковариации вычисляется по формуле:

C_o_v(А,Б)=\sum\limits_{i}(r_i^А-\bar r)*(r_i^Б-\bar r)*p_i ( 5.5.5)

Использовав данные табл. 5.8, получим:

C_o_v(А,Б)=85*5*0,3+0*0*0,4+-85*-5*0,3=255

Тогда коэффициент корреляции составит:

\rho_А_Б=\frac{255}{65,841*3,873}=1

Рис. 5.2.

То есть, "поведение" акций на рынке абсолютно идентично, поэтому они не могут быть использованы для диверсификации несистематического риска инвестиционного портфеля. С увеличением стоимости акции А будет возрастать в цене и акция Б, соответственно падение цены на первую акцию обусловливается влиянием тех же факторов, что и на вторую. В случае положительного влияния факторов, инвестор будет богатеть значительно быстрее, однако в противоположном случае, его убытки также будут возрастать опережающими темпами.

Михаил Агапитов
Михаил Агапитов

Не могу найти  требования по оформлению выпускной контрольной работы по курсу профессиональной переподготовки "Менеджмент предприятия"

Подобед Александр
Подобед Александр

Я нажал кнопку "начать курс" и почти его уже закончил, но для получения диплома на бумаге, нужно его же оплатить? Как оплатить?