Модульная арифметика

Инверсии

Когда мы работаем в модульной арифметике, нам часто нужно найти операцию, которая позволяет вычислить величину, обратную заданному числу. Мы обычно ищем аддитивную инверсию (оператор, обратный сложению) или мультипликативную инверсию (оператор, обратный умножению).

Аддитивная инверсия

В Z_n два числа a и b аддитивно инверсны друг другу, если b = n – a. Например,

В Z_n аддитивная инверсия числу a может быть вычислена как b = n – a. Например, аддитивная инверсия 4 в Z₁₀ равна 10 – 4 = 6.

Обратите внимание, что в модульной арифметике каждое число имеет аддитивную инверсию, и эта инверсия уникальна; каждое число имеет одну и только одну аддитивную инверсию. Однако инверсия числа может быть непосредственно тем же самым числом.

Пример 2.21

Найдите все взаимно обратные пары по сложению в Z₁₀.

Решение

Даны шесть пар аддитивных инверсий — (0, 0), (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6) и (5, 5). В этом списке 0 — инверсия самому себе; так же и 5. Обратите внимание: аддитивные инверсии обратны друг другу; если 4 — аддитивная инверсия 6, тогда 6 — также аддитивная инверсия числу 4.

Мультипликативная инверсия

В Z_n два числа a и b мультипликативно инверсны друг другу, если

Например, если модуль равен 10, то мультипликативная инверсия 3 есть 7. Другими словами, мы имеем .

Может быть доказано, что a имеет мультипликативную инверсию в Z_n, если только НОД(n, a) = 1. В этом случае говорят, что a и n взаимно простые.

Пример 2.22

Найти мультипликативную инверсию 8 в Z₁₀.

Решение

Мультипликативная инверсия не существует, потому что . Другими словами, мы не можем найти число между 0 и 9, такое, что при умножении на 8 результат сравним с 1 по mod 10.

Пример 2.23

Найти все мультипликативные инверсии в Z₁₀.

Решение

Есть только три пары, удовлетворяющие условиям существования мультипликативной инверсии: (1, 1), (3, 7) и (9, 9). Числа 0, 2, 4, 5, 6 и 8 не имеют мультипликативной инверсии.

Мы можем проверить, что

(1 x 1) mod 10 = 1       (3 x 7) mod 10 = 1        (9 x 9) mod 10 = 1

Пример 2.24

Найти все мультипликативные обратные пары в Z₁₁.

Решение

Мы имеем следующие пары: (1, 1), (2, 6), (3, 4), (5, 9), (7, 8) и (10, 10). При переходе от Z₁₀ к Z₁₁ число пар увеличивается. При Z₁₁ НОД (11, a) = 1 (взаимно простые) для всех значений a, кроме 0. Это означает, что все целые числа от 1 до 10 имеют мультипликативные инверсии.

Расширенный алгоритм Евклида, который мы обсуждали ранее в этой лекции, может найти мультипликативную инверсию b в Z_n, когда даны n и b и инверсия существует. Для этого нам надо заменить первое целое число a на n (модуль). Далее мы можем утверждать, что алгоритм может найти s и t, такие, что . Однако если мультипликативная инверсия b существует, НОД (n, b) должен быть 1. Так что уравнение будет иметь вид

Теперь мы применяем операции по модулю к обеим сторонам уравнения. Другими словами, мы отображаем каждую сторону к Z_n. Тогда мы будем иметь

(s x n + b x t) mod n =1 mod n
[(s x n) mod n] + [(b x t) mod n] = 1 mod n
0 + [(b x t) mod n ] = 1
(b x t) mod n =1  ->  Это означает, что t – это мультипликативная инверсия  b в Zn

Обратите внимание, что на третьей строке — 0, потому что, если мы делим , частное — s, а остаток — 0.

Рисунок 2.15 показывает, как мы находим мультипликативную инверсию числа, используя расширенный алгоритм Евклида.

Рис. 2.15. Применение расширенного алгоритма Евклида для поиска мультипликативной инверсии

Пример 2.25

Найти мультипликативную инверсию 11 в Z₂₆.

Решение

Мы используем таблицу, аналогичную одной из тех, которые мы уже применяли прежде при данных r₁ = 26 и r₂ = 11. Нас интересует только значение t.

НОД (26, 11) = 1, что означает, что мультипликативная инверсия 11 существует. Расширенный алгоритм Евклида дает t₁ = (–7).

Мультипликативная инверсия равна (–7) mod 26 = 19. Другими словами, 11 и 19 — мультипликативная инверсия в Z₂₆. Мы можем видеть, что .

Пример 2.26

Найти мультипликативную инверсию 23 в Z₁₀₀.

Решение

Мы используем таблицу, подобную той, которую применяли до этого при r₁ = 100 и r₂ = 23. Нас интересует только значение t.

НОД (100, 23) = 1, что означает, что инверсия 23 существует. Расширенный Евклидов алгоритм дает t₁ =-13. Инверсия — (–13) mod 100 = 87. Другими словами, 13 и 87 — мультипликативные инверсии в Z₁₀₀. Мы можем видеть, что .

Пример 2.27

Найти мультипликативную инверсию 12 в Z₂₆.

Решение

Мы используем таблицу, подобную той, которую мы применяли раньше при r₁ = 26 и r₂ = 12.

, что означает отсутвствие для числа 12 мультипликативной инверсии в Z₂₆

Сложение и умножение таблиц

Рисунок 2.16 показывает две таблицы для сложения и умножения. При сложении таблиц каждое целое число имеет аддитивную инверсию. Обратные пары могут быть найдены, если результат их сложения — ноль. Мы имеем (0, 0), (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6) и (5, 5). При умножении таблиц мы получаем только три мультипликативных пары (1, 1), (3, 7) и (9, 9). Пары могут быть найдены, когда результат умножения равен 1. Обе таблицы симметричны по диагонали, от левой вершины к нижней вершине справа. При этом можно обнаружить свойства коммутативности для сложения и умножения ( a+b = b+a и ). Таблица сложения также показывает, что каждый ряд или колонка может поменяться с другим рядом или колонкой. Для таблицы умножения это неверно.

Рис. 2.16. Таблицы сложения и умножения для Z10

Различные множества для сложения и умножения

В криптографии мы часто работаем с инверсиями. Если отправитель посылает целое число (например, ключ для шифрования слова), приемник применяет инверсию этого целого числа (например, ключ декодирования). Если это действие (алгоритм шифрования/декодирования) является сложением, множество Z_n может быть использовано как множество возможных ключей, потому что каждое целое число в этом множестве имеет аддитивную инверсию. С другой стороны, если действие (алгоритм шифрования/декодирования) — умножение, Z_n не может быть множеством возможных ключей, потому что только некоторые члены этого множества имеют мультипликативную инверсию. Нам нужно другое множество, которое является подмножеством Z_n и включает в себя только целые числа, и при этом в Z_n они имеют уникальную мультипликативную инверсию. Это множество обозначается Z_n*. Рисунок 2.17 показывает некоторые случаи двух множеств. Обратите внимание, что множество Z_n* может быть получено из таблицы умножения типа показанной на рис. 2.16.

Каждый член Z_n имеет аддитивную инверсию, но только некоторые члены имеют мультипликативную инверсию. Каждый член Z_n* имеет мультипликативную инверсию, но только некоторые члены множества имеют аддитивную инверсию.

Рис. 2.17. Некоторые множества Zn и Zn*

Еще два множества

Криптография часто использует еще два множества: Z_p, и Z_p*. Модули в этих двух множествах — простые числа. Простые числа будут обсуждаться в следующих лекциях; пока можно сказать, что простое число имеет только два делителя: целое число 1 и само себя.

Множество Z_p — то же самое, что и Z_n, за исключением того, что n — простое число. Z_p содержит все целые числа от 0 до p – 1. Каждый элемент в Z_p имеет аддитивную инверсию; каждый элемент кроме 0 имеет мультипликативную инверсию.

Множество Z_p* — то же самое, что Z_n*, за исключением того, что Z_p* содержит все целые числа от 1 до p – 1. Каждый элемент в Z_p имеет аддитивную и мультипликативную инверсии. Z_p* очень хороший кандидат, когда мы нуждаемся во множестве, которое поддерживает аддитивную и мультипликативную инверсии.

Ниже показаны два множества, когда p = 13.

Z13 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, 
Z13* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},