Поточные шифры и генераторы псевдослучайных чисел. Часть 1

Генератор псевдослучайных чисел на основе алгоритма BBS

Широкое распространение получил алгоритм генерации псевдослучайных чисел, называемый алгоритмом BBS (от фамилий авторов — L. Blum, M. Blum, M. Shub) или генератором с квадратичным остатком. Для целей криптографии этот метод предложен в 1986 году.

Он заключается в следующем. Вначале выбираются два больших простых^{1 Целое положительное число большее единицы называется простым, если оно не делится ни на какое другое число, кроме самого себя и единицы. Подробнее о простых числах см. в "Основные положения теории чисел, используемые в криптографии с открытым ключом" .} числа p и q. Числа p и q должны быть оба сравнимы с 3 по модулю 4, то есть при делении p и q на 4 должен получаться одинаковый остаток 3. Далее вычисляется число M = p* q, называемое целым числом Блюма. Затем выбирается другое случайное целое число х, взаимно простое (то есть не имеющее общих делителей, кроме единицы) с М. Вычисляем х0= х²mod M. х₀ называется стартовым числом генератора.

На каждом n-м шаге работы генератора вычисляется х_n+1= х_n² mod M. Результатом n-го шага является один (обычно младший) бит числа х_n+1. Иногда в качестве результата принимают бит чётности, то есть количество единиц в двоичном представлении элемента. Если количество единиц в записи числа четное – бит четности принимается равным 0, нечетное – бит четности принимается равным 1.

Например, пусть p = 11, q = 19 (убеждаемся, что 11 mod 4 = 3, 19 mod 4 = 3). Тогда M = p* q = 11*19=209. Выберем х, взаимно простое с М: пусть х = 3. Вычислим стартовое число генератора х₀:

х0 = х2 mod M = 32 mod 209 = 9 mod 209 = 9.

Вычислим первые десять чисел х_i по алгоритму BBS. В качестве случайных бит будем брать младший бит в двоичной записи числа х_i:

Самым интересным для практических целей свойством этого метода является то, что для получения n-го числа последовательности не нужно вычислять все предыдущие n чисел х_i. Оказывается х_n можно сразу получить по формуле

Например, вычислим х₁₀ сразу из х₀:

В результате действительно получили такое же значение, как и при последовательном вычислении, – 137. Вычисления кажутся достаточно сложными, однако на самом деле их легко оформить в виде небольшой процедуры или программы и использовать при необходимости.

Возможность "прямого" получения хn позволяет использовать алгоритм BBS при потоковой шифрации, например, для файлов с произвольным доступом или фрагментов файлов с записями базы данных.

Безопасность алгоритма BBS основана на сложности разложения большого числа М на множители. Утверждается, что если М достаточно велико, его можно даже не держать в секрете; до тех пор, пока М не разложено на множители, никто не сможет предсказать выход генератора ПСЧ. Это связано с тем, что задача разложения чисел вида n = pq (р и q — простые числа) на множители является вычислительно очень трудной, если мы знаем только n, а р и q — большие числа, состоящие из нескольких десятков или сотен бит (это так называемая задача факторизации).

Кроме того, можно доказать, что злоумышленник, зная некоторую последовательность, сгенерированную генератором BBS, не сможет определить ни предыдущие до нее биты, ни следующие. Генератор BBS непредсказуем в левом направлении и в правом направлении. Это свойство очень полезно для целей криптографии и оно также связано с особенностями разложения числа М на множители.

Самым существенным недостатком алгоритма является то, что он недостаточно быстр, что не позволяет использовать его во многих областях, например, при вычислениях в реальном времени, а также, к сожалению, и при потоковом шифровании.

Зато этот алгоритм выдает действительно хорошую последовательность псевдослучайных чисел с большим периодом (при соответствующем выборе исходных параметров), что позволяет использовать его для криптографических целей при генерации ключей для шифрования.

Ключевые термины

Stream cipher – поточный шифр.

Алгоритм BBS – один из методов генерации псевдослучайных чисел. Название алгоритма происходит от фамилий авторов - L. Blum, M. Blum, M. Shub. Алгоритм может использоваться в криптографии. Для вычислений очередного числа x_n+1 по алгоритму BBS используется формула х_n+1= х_n² mod M, где M = pq является произведением двух больших простых p и q.

Генератор псевдослучайных чисел (ГПСЧ) – некоторый алгоритм или устройство, которые создают последовательность битов, внешне похожую на случайную.

Линейный конгруэнтный генератор псевдослучайных чисел – один из простейших ГПСЧ, который для вычисления очередного числа k_i использует формулу k_i=(a*k_i-1+b)mod c, где а, b, с — некоторые константы, a k_i-1 — предыдущее псевдослучайное число.

Метод Фибоначчи с запаздываниями – один из методов генерации псевдослучайных чисел. Может использоваться в криптографии.

Поточный шифр – шифр, который выполняет шифрование входного сообщения по одному биту (или байту) за операцию. Поточный алгоритм шифрования устраняет необходимость разбивать сообщение на целое число блоков. Поточные шифры используются для шифрования данных в реальном времени.

Краткие итоги

Поточный шифр – это шифр, который выполняет шифрование входного сообщения по одному биту (или байту) за операцию. Поточный алгоритм шифрования устраняет необходимость разбивать сообщение на целое число блоков. Таким образом, если передается поток символов, каждый символ может шифроваться и передаваться сразу. Поточные шифры используются для шифрования данных в режиме реального времени.

В качестве генераторов ключей в поточных шифрах могут использоваться генераторы псевдослучайных чисел (ГПСЧ). Целью использования ГПСЧ является получение "бесконечного" ключевого слова, располагая относительно малой длиной самого ключа. Для использования в криптографических целях генератор псевдослучайных чисел должен обладать некоторыми свойствами, например, период последовательности, порождаемой генератором, должен быть очень большой.

Простейшими генераторами псевдослучайных чисел являются: линейный конгруэнтный генератор, генератор по методу Фибоначчи с запаздываниями, генератор на основе алгоритма Блюм – Блюма – Шуба (BBS).

Набор для практики

Вопросы для самопроверки

1. Чем поточный шифр отличается от блочного?
2. Каким образом организуется шифрование потока данных переменной длины?
3. Какие числа называют "псевдослучайными"?
4. Какими свойствами должен обладать генератор псевдослучайных чисел для использования в криптографических целях?
5. Какие генераторы псевдослучайных чисел Вы можете назвать?
6. Перечислите основные характеристики, достоинства и недостатки каждого из рассмотренных в данной лекции генераторов псевдослучайных чисел.

Упражнения для самопроверки

1. Определите последовательность из первых десяти чисел и период линейного конгруэнтного генератора ПСЧ для различных параметров а, b и c (k₀ принять равным 0):
   • а =5, b =7 и c = 17;
   • а = 6, b =3 и c = 23.
2. Вычислите последовательность из десяти чисел, генерируемую методом Фибоначчи с запаздыванием начиная с k_а при следующих исходных данных:
   • a = 3, b = 1, k₀=0.6; k₁=0.3; k₂=0.5;
   • a = 4, b = 2, k₀=0.9; k₁=0.3; k₂=0.5; k₃=0.9.
3. Значения k₀, k₁, k₂, k₃, полученные с помощью линейного конгруэнтного генератора, равны: k₀ = 1, k₁ = 12, k₂ = 3, k₃ = 6. Найдите параметры а, b и c генератора ПСЧ.
4. Вычислить х₁₁ по методу генерации псевдослучайных чисел BBS, если p = 11, q = 19, х = 3.