НОУ ИНТУИТ | Математика криптографии и теория шифрования. Лекция 12: Простые числа

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 19.01.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 71 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Phi-функция Эйлера

Phi-функция Эйлера, $\varphi (n)$ , которую иногда называют тотиентой Эйлера, играет очень важную роль в криптографии. Функция $\varphi (n)$ находит из ряда чисел 0,1…., n–1 числа, взаимно простые с n. Можно вспомнить из "Модульная арифметика" , что множество Z_n* — числа, которые не больше чем n и взаимно простые с n. Функция $\varphi (n)$ вычисляет число элементов этого множества. Ниже показано, как найти это значение:

$\varphi (1)=0$ .
$\varphi (p)=p-1$ , если p — простое число.
$\varphi (m \times n) = \varphi (m) \times \varphi (n)$ , если m и n — взаимно простые.
$\varphi ({p^e}) = {p^e} - {p^{e - 1}}$ , если p — простое.

Мы можем объединить эти четыре правила, предназначенные для нахождения $\varphi (n)$ .

$\varphi (n) = ({p_1}^{{e_1}} - {p_1}^{{e_1} - 1}) \times ({p_2}^{{e_2}} - {p_2}^{{e_2} - 1}) \times \cdot \cdot \cdot \times ({p^{{e_k}}} - {p^{{e_k} - 1}})$

Очень важно заметить, что значение $\varphi (n)$ для больших чисел может быть найдено, если может быть найдено число n и если n может быть представлено в виде разложения простых чисел. Другими словами, трудность нахождения $\varphi (n)$ зависит от трудности нахождения разложения n. Это рассматривается в следующем разделе.

Трудность нахождения $\phi(n)$ зависит от трудности нахождения разложения n.

Пример 12.7

Какое значение имеет $\varphi (13)$ ?

Решение

Поскольку 13 — простое число, $\varphi (13)=(13-1)=12$ .

Пример 12.8

Какое значение имеет $\varphi (10)$ ?

Решение

Мы можем использовать третье правило: $\varphi (10) = \varphi (2) \times \varphi (5) = 1 \times 4 = 4$ , поскольку 2 и 5 — простые числа.

Пример 12.9

Какое значение имеет $\varphi (240)$ ?

Решение

Мы можем записать $240 = {2^4} \times {3^1} \times {5^1}$ .

Тогда

$\varphi (240) = ({2^4} - {2^3}) \times ({3^1} - {3^0}) \times ({5^1} - {5^0}) = 64$

Пример 12.10

Можно ли утверждать, что $\varphi (49) = \varphi (7) \times \varphi (7) = 6 \times 6 = 36$ ?

Решение

Нет.

$\varphi (49) = {7^2} - {7^1} = 42$

Пример 12.11

Какие числа являются элементами в Z₁₄^*?

Решение

$\varphi (14) = \varphi (7) \times \varphi (2) = 6 \times 1 = 6$ . Элементы – это 1, 3, 5, 9, 11 и 13.

Интересный факт: если n > 2, значение $\phi(n)$ — четное.

Малая теорема Ферма

Малая теорема Ферма играет очень важную роль в теории чисел и криптографии. Ниже мы приводим две версии теоремы.

Первая версия

Первая версия говорит, что если p — простое число и a — целое число, такое, что p не является делителем a, тогда ${a^{p - 1}} \equiv 1{\text{ }}\bmod {\text{ }}p$ .

Вторая версия

Вторая версия вводит ограничивающие условие на a. Она утверждает, что если p — простое число и a — целое число, то ${a^p} \equiv a{\text{ }}\bmod {\text{ }}p$ .

Приложения

Хотя мы будем рассматривать приложения этой теоремы позже в этой лекции, теорема очень полезна для того, чтобы решить некоторые проблемы.

Возведение в степень. Малая теорема Ферма иногда полезна для того, чтобы быстро найти решение при возведении в степень. Следующие примеры показывают это.

Пример 12.12

Найдите результат 6¹⁰ mod 11.

Решение

Мы имеем ${6^{10}}{\text{ }}\bmod {\text{ }}11 \equiv 1$ . Это первая версия малой теоремы Ферма, где p = 11.

Пример 12.13

Найдите результат 3¹² mod 11.

Решение

Здесь степень (12) и модуль (11) не соответствуют условиям теоремы Ферма. Но, применяя преобразования, мы можем привести решение к использованию малой теоремы Ферма.

${3^{12}}\bmod {\text{ }}11 \equiv ({3^{11}} \times 3)\bmod {\text{ }}11 \equiv ({3^{11}}\bmod {\text{ }}11)(3{\text{ }}\bmod {\text{ }}11) \equiv (3 \times 3)\bmod {\text{ }}11 = 9$

Мультипликативные инверсии. Очень интересное приложение теорема Ферма находит для некоторых мультипликативных инверсий, если модуль — простое число. Если p — простое число и a — целое число, такое, что p не является его делителем, тогда a^-1mod p = a^p-2 mod p. Это может быть легко доказано, если мы умножим обе стороны равенства на a и используем первую версию малой теоремы Ферма:

$a \times a^{-1} \mod\ p \equiv a \times a^{p-2} \mod\ p \equiv a^{p-1} \mod\ p \equiv 1 \mod\ p$

Это приложение позволяет не использовать расширенный алгоритм Евклида для нахождения мультипликативных инверсий.

Пример 12.14

Инверсии по модулю простого числа могут быть найдены без использования расширенного Евклидова алгоритма:

a. 8^-1 mod 17 = 8^17-2 mod 17 = 8¹⁵ mod 17 = 15 mod 17

b. 5 ^–1 mod 23 = 5^23-2 mod 23 = 5²¹ mod 23 = 14 mod 23

c. 60¹⁰¹ mod 101 = 60^101-2 mod 101 = 60⁹⁹ mod 101 = 32 mod 101

d. 22 ^-1 mod 211 = 22 ^211-2 modа 211 = 22²⁰⁹ mod 211 = 48 mod 211

Дальше >>

Инженерия программного обеспечения

Математика криптографии и теория шифрования