Алгебра множеств

Алгеброй называется совокупность множества с заданными в нем операциями , где - носитель, - сигнатура.

Алгеброй множеств называется совокупность булеана универсального множества с заданными в нем операциями:

где - множество операций: пересечение, объединение, дополнение, разность.

Законы алгебры множеств

Для операций объединения, пересечения и дополнения выполняются следующие законы:

1. коммутативности:
   
2. ассоциативности:
   
   
3. дистрибутивности:
   • пересечения относительно объединения:
     
   • объединение относительно пересечения:
     
4. идемпотентности:
   
5. действия с универсальным и пустым множествами:
   
   
   
6. де Моргана:
   
   
7. двойного дополнения:
   

Доказательство законов можно выполнить графически или посредством последовательности утверждений типа "если , то ", которое записывается как .

Докажем закон дистрибутивности:

Графическое доказательство состоит в построении диаграмм Эйлера-Венна для правой и левой частей ( рис. 2.1).

Доказательство

Если и и или или .

Рис. 2.1.

Таким образом, . Необходимо доказать включение в обратную сторону:

или

или и и .

Следовательно, .

Докажем закон де Моргана

Графическая интерпретация представлена на рис. 2.2.

Рис. 2.2.

Рассмотрим графическую интерпретацию левой части закона де Моргана, в которой можно выделить три составные части ( рис. 2.3).

Рис. 2.3.

Используя закон идемпотентности , получим:

по закону дистрибутивности

Таким образом, .

Аналогично доказывается включение в обратную сторону:

Следовательно,