Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.
Регистрация
Вход
Электронный адрес:
*
Пароль:
*
Забыли пароль?
Запомнить меня
Авторизоваться
Зайти как гость
Твой путь к знаниям!
Учеба
Академии
Учителя
Рейтинг
Вопросы
Магазин
Сведения об образовательной организации
Новости
Помощь
О проекте
Все
Компании
ВУЗ
Учебный центр
Школа
Личная
Преподаватель
Андрей Чубатов
О видеокурсе
Информация
Глоссарий
Дипломы
Вопросы и ответы
Студенты
Рейтинг выпускников
Мнения
Курс на Altube
Учебные программы
План занятий
Экзамен экстерном
Лекция 1
Введение
Цели курса
История вычислительной математики
Специфика реализации вычислений в памяти компьютера
Основные вопросы дискретного вычисления
Задача численного дифференцирования
Постановка задачи
Погрешность аппроксимации при вычислениях с конечной длиной мантисы, машинный эпсилон
Вычисление производной с помощью формулы конечной разности
Вычисление производной с помощью формулы центральной разницы
Сравнение максимальных погрешностей двух методов вычисления производной
Метод неопределённых коэффициентов
Задача интерполяции
Постановка задачи
Интерполяция обобщёнными полиномами
Алгебраическая интерполяция
Полином в форме Лагранжа
Тест 1
Лекция 2
Введение
Теорема о существовании и единственности решения задачи алгебраической интерполяции, полином в форме Лагранжа
Теорема об остаточном члене интерполяции
Разделенные разности (разностные отношения ), интерполяционный полином в форме Ньютона
Определение и свойства разделённой разности первого порядка
Определение разделённой разности произвольного порядка
Таблица разделённых разностей
Интерполяционный полином в форме Ньютона
Сравнение представлений полинома в форме Ньютона и в форме Лагранжа
Обусловленность задачи алгебраической интерполяции, функция Лебега, постоянная Лебега
Задача об оптимальном выборе узлов интерполяции, полиномы Чебышёва
Минимизация остаточного члена интерполяции
Определение полиномов Чебышёва первого рода
Тригонометрическая форма полиномов Чебышёва
Нули полиномов Чебышёва
Лекция 3
Введение
Полиномы Чебышёва первого рода
Нули и экстремумы полиномов Чебышёва
Задача о полиноме, наименее уклоняющемся от ноля
Зависимость нормы оператора интерполяции от выбора узлов
Ортогональность полиномов Чебышёва
Интерполяция функции обобщённым полиномом и конечным рядом Фурье
Кусочно-полиномиальная интерполяция, сплайны
Понятие сплайна
Задача минимизации потенциальной энергии сплайна
Система уравнений для моментов кубического сплайна
Система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей
Метод прогонки
Лекция 4
Введение
Интерполяция сплайнами
Решение систем уравнений методом прогонки, условие устойчивости прогонки
Чувствительность метода прогонки к погрешности округления, условие устойчивости
Существование и единственность решения системы уравнений для моментов сплайна
Понятие дефекта сплайна
Кусочно-линейная интерполяция, В-сплайн первого порядка
В-сплайн третьего порядка
Интерполяция с помощью В-сплайнов
Оценка константы Лебега для интерполяции сплайнами
Локальные сплайны (В.С.Рябенького)
Задача численного интегрирования
Постановка двух основных задач численного интегрирования
Квадратурные формулы интерполяционного типа
Тест 2
Лекция 5
Введение
Квадратурные формулы интерполяционного типа Ньютона-Котеса
Квадратурная формула трапеций
Оценка погрешности метода трапеции
Квадратурная формула Симпсона
Формула Симпсона на равномерной сетке
Оценка погрешности формулы Симпсона
Правило 3/8
Правильные квадратурные формулы, устойчивость задачи численного интегрирования
Повышение точности квадратурных формул. Экстраполяция Ричардсона
Вычисление интегралов от функции, имеющей особенность
Метод регулиризации
Метод ухода от особенностей
Квадратурные формулы Гаусса, полиномы Лежандра
Получение формулы Гаусса методом неопределённых коэффициентов
Теорема Гаусса, полиномы Лежандра
Численные методы линейной алгебры
Нормы векторов
Норма матрицы, согласованная с нормой вектора
Тест 3
Лекция 6
Введение
Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Прямые методы решения СЛАУ
Итерационные методы решения СЛАУ
Метод Гаусса
Метод Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента
Число обусловленности СЛАУ
Геометрический смысл числа обусловленности
Метод простых итераций
Каноническая форма записи двухслойного итерационного метода
Вектор невязки
Условие сходимости метода простых итераций
Выбор оптимального значения итерационного параметра для систем с самосопряженной положительной матрицей
Скорость сходимости метода простых итераций с оптимальным выбором параметра
Лекция 7
Введение
Метод простых итераций
Устойчивость метода простых итераций
Сравнение затрат прямого метода и метода простых итераций
Двухслойный метод простой итерации с оптимальным набором параметров
Чебышевский набор итерационных параметров
Устойчивость метода простой итерации с Чебышёвским набором параметров
Упорядочивание параметров
Реализация на практике метода упорядочивания параметров
Характеристика сходимости Чебышёвского метода с устойчивым набором параметров
Неявные итерационные методы
Определение неявных методов
Запись методов в каноническом виде, методы Якоби
Метод Зейделя
Метод верхней релаксации
Энергетическая норма, функционал энергии
Лекция 8
Введение
Функционал энергии
Определение функционала энергии
Эквивалентность решения задач о минимизации функционала энергии и решения СЛАУ
Алгоритмы поиска минимума функционала, метод градиентного спуска, метод минимальных невязок
Метод градиентного (наискорейшего) спуска
Метод минимальных невязок
Метод сопряженных градиентов
Базис Крылова, построение метода сопряженных градиентов
Базис Крылова
Скалярное произведение двух векторов с весовой матрицей
Энергетическая норма порождаемой матрицы
Понятие А-сопряжённых векторов
Доказательство линейной независимости системы векторов базиса
Построение метода сопряженных градиентов
Анализ метода сопряженных градиентов
Численное решение проблемы собственных значений
Классификация проблем собственных значений
Поиск наибольшего числа самосопряженной матрицы степенным методом
Лекция 9
Введение
Проблема собственных значений, метод обратной итерации
Проблема собственных значений, метод вращений
Понятие преобразования поворота, матрица вращения
Унитарность матрицы вращения, приведение её к диагональному виду
Минимизация суммы квадратов внедиагональных коэффициентов
Описание шагов метода вращений
Метод вращения с барьерами
Методы решения нелинейных уравнений и систем
Понятие сжимающего отображения
Принцип сжимающих отображений
Релаксационный метод
Скорость сходимости релаксационного метода
Пример использования релаксационного метода
Оптимизация релаксационного варианта метода простой итерации, метод Ньютона (метод касательных)
Геометрическая интерпретация метода Ньютона
Геометрическая интерпретация метода простых итераций – лестница Ламерея
Метод простых итераций в многомерном случае
Метод Ньютона в многомерном случае
Тест 4
Лекция 10
Введение
Теорема о квадратичной сходимости метода Ньютона
Метод Ньютона
Формулировка теорема о квадратичной сходимости метода Ньютона
Доказательство теоремы для одномерной системы
Оценка сложности доказательства теоремы для систем высокой размерности
Сходимости метода Ньютона и метода простой итерации
Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Задача Коши
Теорема о существовании и единственности решения для нелинейной системы
Разностная задача, сеточный подход
Близость решения разностной задачи и проекции точного решения на сетку
Метод Эйлера-Коши
Понятие аппроксимации, порядок аппроксимации
Аппроксимация первого порядка, исследование явного метода Эйлера на аппроксимацию
Понятие сходимости, порядок сходимости
Определение устойчивости
Устойчивость для линейной задачи
Теорема о связи аппроксимации, устойчивости и сходимости (основная теорема вычислительной математики, теорема П.Лакса и В.С.Рябенького)
Тест 5
Лекция 11
Введение
Основная теорема вычислительной математики (теорема П.Лакса и В.С.Рябенького)
Формулировка теоремы
Идея доказательства основной теоремы
Явные методы Рунге-Кутты
Запись явного метода Рунге-Кутты через неопределенные коэффициенты
Представление метода в виде таблицы Бутчера
Исследование на аппроксимацию методов Рунге-Кутты, условия порядка
Условия порядка для явного двухстадийного метода
Четырехстадийные методы Рунге-Кутты, классический метод
Условие Кутты, правило 3/8
Барьеры Бутчера, теорема об устойчивости методов Рунге-Кутты
Потребности НАСА, первый барьер Бутчера
Теоремы об устойчивости методов Рунге-Кутты, лемма о липшиц-непрерывности, случай монотонных методов
Доказательство теоремы об устойчивости методов Рунге-Кутты с правой частью системы, непрерывной по Липшицу, возмущённая и невозмущённая задача
Формулировка теоремы об устойчивости методов Рунге-Кутты с правой частью системы, непрерывной по Липшицу
Анализ случая большой константы Липшица
Понятие отрицательной матрицы и устойчивой траектории. Случай автономной системы с отрицательной самосопряжённой матрицей Якоби
Лекция 12
Введение
Устойчивость явных методов Рунге-Кутты на различных траекториях
Краткий обзор прошлой лекции: определение методов Рунге-Кутты
Исследование на устойчивость явных численных методов на устойчивых траекториях системы ОДУ
Теорема об устойчивости на устойчивой траектории
Устойчивость численных методов на неустойчивой траектории
Пример системы с комплексными мнимыми числами и нулевой матрицей А, нарушение законов сохранения при использовании явных методов Рунге-Кутты на примере уравнения колебаний маятника
Решение нейтральной по устойчивости системы методом, порядок аппроксимации которого больше единицы
Способы проверки теории относительности, релятивистские поправки в уравнениях движения планет
Оценка необходимого порядка для метода при решении практических задач
Методы Адамса (линейные многошаговые методы)
Необходимость построения неявных методов, методы Адамса
Достоинства методов Адамса
Недостатки методов Адамса
Однородное и неоднородное разностные уравнения порядка К, метод Эйлера с центральной точкой и исследование его на устойчивость
Паразитное решение и причины его появления
Тест 6
Лекция 13
Введение
Краевая задача, уравнения Штурма-Лиувилля
Постановка задачи
Сведение к задаче Коши, метод построения общего решения
Три задачи Коши
Применимость метода построения общего решения
Метод разносной прогонки
Сравнение устойчивостей метода разностной прогонки и метода построения общего решения
Разностные схемы повышенного порядка аппроксимации – аппроксимация Нумерова
Методы решения нелинейных краевых задач
Сведение к задаче Коши, метод стрельбы
Метод квазилинеаризации (метод Ньютона)
Анализ метода квазилинеаризации
Заключение
Тест 7
Экзамен
Вы можете
поддержать
этот курс.
Академия Чубатова А.А,
:
Численные методы
:
Основы вычислительной математики
[+]
Опубликован:
03.11.2010
| Уровень:
профессионал
| Доступ:
свободно
Запись завершена
|
Вам нравится?
Нравится
8
студентам
|
Поделиться
|
Поддержать
|
Скачать видеокурс (mp4)
Лекция 1:
Задачи численного дифференцирования и алгебраической интерполяции
Лекция 1
Аннотация:
Введение. Историческая справка. Основные задачи и проблемы.
Дальше >>
Лекция 1
Вопросы и ответы
вопросов: 1
Айдар Хайруллин
Есть ли какие-нибудь упражнения к лекциям по курсу "Основы вычислительной математики"?
ответить
Студенты
всего: 1418
Олег Корсак
Латвия, Рига
предложить дружбу
Николай Прохоренко
Украина, Краматорск
предложить дружбу