НОУ ИНТУИТ | Введение в вычислительную математику. Лекция 3: Численное решение систем линейных алгебраических уравнений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 54 студентам

| Поделиться |

Поддержать

| Скачать электронную книгу

2.3. Обусловленность СЛАУ. Число обусловленности матрицы

Понятия согласованных норм матриц и векторов позволяют оценить погрешности, возникающие при численном решении СЛАУ. Пусть и матрица, и правая часть системы заданы с некоторой погрешностью, тогда наряду с системой

$\mathbf{Au}= \mathbf{f}$

( 2.4)

рассматривается система

$(\mathbf{A}+ \Delta\mathbf{A})(\mathbf{u}+ \Delta\mathbf{u}) = \mathbf{f}+ \Delta\mathbf{f}.$

( 2.5)

Теорема. Пусть правая часть и невырожденная матрица СЛАУ (2.4) вида $\mathbf{Au}= \mathbf{f}, \mathbf{u} \in L^n, \mathbf{f} \in L^n$ , получили приращения $\Delta\mathbf{f}$ и $\Delta\mathbf{A}$ соответственно. Пусть существует обратная матрица $\mathbf{A}^{-1}$ и выполнены условия

$\|\mathbf{A}\| \ne 0, \mu \frac{\|\mathbf{\Delta A}\|}{\|\mathbf{A}\|}< 1$

, где $\mu = \|\mathbf{A}\| \cdot \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| .$ В этом случае оценка относительной погрешности решения $\|{\Delta\mathbf{u}}\|/\|\mathbf{u}\|$ удовлетворяет неравенству

$\frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} \le \frac{\mu} {1 - \mu \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|}} \left({\frac{\|\Delta \mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|}+ \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|} {\|\mathbf{A}\|}}\right).$

Доказательство.

Из (2.5) следует, что $\Delta\mathbf{u} = {\mathbf{A}}^{- 1}(\Delta\mathbf{f}- \Delta\mathbf{A} \mathbf{u}- \Delta\mathbf{A} \Delta\mathbf{u}).$ Переходя в этом равенстве к норме и использовав неравенство треугольника, получаем

$\|{\Delta\mathbf{u}}\| \le \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \|{\Delta\mathbf{f}}\| + \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \|{\Delta\mathbf{A}}\| \|\mathbf{u}\| + \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \|{\Delta\mathbf{A}}\| \|{\Delta\mathbf{u}}\| , \mbox{ или } \\ \|{\Delta\mathbf{u}}\| \le \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\| \frac{\|\Delta\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|} \|\mathbf{f}\| + \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|} \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{u}\| + \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|} \|\Delta\mathbf{u}\|.$

Вводя обозначение $\mu (\mathbf{A}) = \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \cdot \|\mathbf{A}\|$ , перепишем последнее равенство в виде

$\|\Delta\mathbf{u}\| \left(1 - \mu \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|} {\|\mathbf{A}\|}\right) \le \mu \frac{\|\Delta \mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|} \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{A}\|} + \mu \cdot \frac{\|\Delta \mathbf{A}\|} {\|\mathbf{A}\|} \|\mathbf{u}\| \le \\ \le \mu \frac{\|\Delta\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|} \|\mathbf{u}\| + \mu \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|} \|\mathbf{u}\| = \mu \left(\frac{\|\Delta\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|} + \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|}\right) \|\mathbf{u}\| .$

Заметим, что

$\frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{A}\|} \le \|\mathbf{u}\|$

т.к. $\|\mathbf{f}\| = \|\mathbf{Au}\| \le \|\mathbf{A}\| \cdot \|\mathbf{u}\|.$

Тогда для оценки относительной погрешности решения окончательно получим

$\frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} \le \frac{\mu} {1 - \mu \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|}} (\frac{\|\Delta\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|} + \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|}).$

( 2.6)

При $\Delta A \approx 0$ получаем оценку при наличии погрешности только правых частей

$\frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} \le \mu \frac{\|\mathbf{\Delta f}\|}{\|\mathbf{f}\|},$

( 2.7)

если в (2.5) положить $\Delta\mathbf{A} \cdot \Delta \mathbf{u} \approx 0$ , то

$\frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} \le \mu (\frac{\|\Delta\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|} + \frac{\|\Delta\mathbf{A}\|}{\|\mathbf{A}\|}).$

( 2.8)

В результате получено важное соотношение, показывающее, на сколько возрастают относительные ошибки решения СЛАУ в случае наличия относительных ошибок при задании правых частей и элементов матриц.

Величина

$\mu (\mathbf{A}) = \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \|\mathbf{A}\|}$

( 2.9)

называется числом обусловленности матрицы $\mathbf{A}.$ Число обусловленности определяет, насколько погрешность входных данных может повлиять на решение системы (2.1) . Почти очевидно, что всегда $\mu \ge 1.$ Действительно

$1 = \|\mathbf{E}\| = \left\|{\mathbf{A^{-1}A}}\right\| \le \left\|\mathbf{A^{-1}}\right\| \|\mathbf{A}\| = \mu.$

При $\mu \approx 1 \div 10$ ошибки входных данных слабо сказываются на решении и система (2.1) считается хорошо обусловленной. При $\mu > > 10^{2} \div 10^{3}$ система является плохо обусловленной.

Пример. Решением системы

$\left\{ \begin{array}{l} 100u + 99v = 199 \\ 99u + 98v = 197 \\ \end{array} \right.$

будет пара чисел u = v = 1.

Внесем возмущение в правые части системы:

$\left\{ \begin{array}{l} 100u + 99v = 198,99 \\ 99u + 98v = 197,01. \\ \end{array} \right.$

При этом решение заметно изменится: u = 2,97; v = -0,99. Воспользовавшись выбранными согласованными нормами, получим

$\begin{gather*} {\|\mathbf{f}\|}_1 = 199,\quad {\|\Delta\mathbf{f}\|}_1 = 10^{- 2}, \\ \delta f = \frac{{\|\Delta\mathbf{f}\|}_1}{{\|\mathbf{f}\|}_1} \approx 0,5 \cdot 10^{- 4} \mbox{ (это очень малая величина),} \\ {\|\mathbf{A}\|}_1 = {\left\|\mathbf{A}^{- 1}\right\|}_1 = 199, \mu = 199 \cdot 199 \approx 4 \cdot 10^4 . \end{gather*}$

Значит,

$\delta u = \frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} \le \mu \frac{\|\Delta\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{f}\|} \approx 4 \cdot 10^4 \cdot \frac{10^{- 4}}{2}= 2$

, что согласуется с результатами решения возмущенной и невозмущенной задач. Для невозмущенной задачи $\|\Delta\mathbf{u}\| \approx 2$ , $\|\mathbf{u}\| = 1.$

Рассмотрим еще одно важное свойство. Число обусловленности матрицы, как было показано ранее, можно определить, как $\delta u/\delta f \le \mu (\mathbf{A})$ , если $\Delta\mathbf{A} \approx {\mathbf0}$ при

$$ \delta u = \frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|}$.$

Можно ли найти более тонкую оценку отношения $\delta u/\delta f$ , учитывающую зависимость обусловленности СЛАУ от выбора правых частей? В этом случае параметр обусловленности системы, вообще говоря, зависит и от $\mathbf{f}$ , и от $\Delta \mathbf{f}$ , и удовлетворяет неравенству

$$ \nu(\mathbf{f},\Delta\mathbf{f}) \ge \frac{\delta u}{\delta f} = \frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} \cdot \frac{\|\mathbf{f}\|} {\|\Delta\mathbf{f}\|} $.$

Его можно определить как точную верхнюю грань отношения

$\frac{\delta u}{\delta f}$

по $\Delta \mathbf{f}$ , что соответствует наихудшей ситуации. Тогда

$\nu (\mathbf{f}) = \sup\limits_{\Delta\mathbf{f}} \frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\Delta\mathbf{f}\|} = \sup\limits_{\Delta\mathbf{f}} \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{u} \|} \frac{\|\Delta\mathbf{u}\|}{\|\Delta\mathbf{f}\|} = \\ = \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{u}\|} \sup\limits_{\Delta\mathbf{f}} \frac{\left\|\mathbf{A}^{- 1}\Delta\mathbf{f}\right\|}{\|\Delta\mathbf{f}\|} = \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{u}\|} \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| .$

Далее,

$\sup\limits_\mathbf{f} \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \cdot \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{u}\|} = \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \cdot \sup\limits_\mathbf{f} \frac{\|A\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|} = \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \cdot \|\mathbf{A}\| = \mu (\mathbf{A}),$

с другой стороны

$\inf\limits_\mathbf{f}\nu (\mathbf{f}) = \inf\limits_\mathbf{f} \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \cdot \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{u}\|} = \inf\limits_\mathbf{f} \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \sup\limits_\mathbf{f} {\left(\frac{\|\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{f}\|}\right)}^{- 1} = \\ = \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| {\left(\sup\limits_\mathbf{f}\frac{\left\|{\mathbf{A}^{- 1}\mathbf{f}}\right\|}{\|\mathbf{f}\|}\right)}^{- 1} = 1.$

Параметр $\nu (\mathbf{f})$ , характеризующий обусловленность системы, зависит от правых частей. Более тонкая его оценка есть

$\nu (\mathbf{f}) = \left\|{\mathbf{A}^{- 1}}\right\| \frac{\|\mathbf{f}\|}{\|\mathbf{u}\|}$

, причем $1 \le \nu (\mathbf{f}) \le \mu .$ Так как такую оценку провести не всегда возможно, то чаще используется точная верхняя грань $\left\|{\mathbf{A}^{- 1}} \right\| \|\mathbf{A}\|.$ Такая оценка, конечно, может быть существенно завышенной.

Можно также показать, что для симметричной матрицы $\mathbf{A}$ имеет место $\mu = \left|{\max\limits_k \lambda_{\mathbf{A}}^k}\right| / \left|{\min\limits_k \lambda_{\mathbf{A}}^k}\right\|$ , т.е. обусловленность СЛАУ зависит от ее спектральных свойств. Это следует из определения третьей нормы матрицы ${\|\mathbf{A}\|}_3 = \left|{\max\limits_k \lambda_{\mathbf{A}}^k}\right|$ и соотношения