НОУ ИНТУИТ | Учебный видеокурс | Геометрические методы в классической теории поля

Опубликован: 14.01.2010 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно

Данный курс представляет собой обзор методов дифференциальной геометрии применяющихся в классической теории поля.

В качестве основных примеров в курсе рассматриваются классическая электродинамика и общая теория относительности. Начиная с 2001-2002 учебного года курс читается автором в МФТИ как семестровый курс (весенний семестр) для студентов 3-4 курса.

Предварительные курсы Геометрический взгляд на специальную теорию относительности

Вам нравится? Нравится 19 студентам

| Поделиться |

Поддержать

| Скачать видеокурс (mp4)

Занятие	Заголовок <<	Дата изучения
	Экзамен экстерном	-
Лекция 1	Вводная Излагаются история и основные идеи общей теории относительности. Для дальнейшей самостоятельной работы даются задачи и список литературы. Оглавление Введение Критерии оценки Общая теория относительности Вид уравнений Эйштейна Идея геометризации Допустимые замены координат Инвариантность при замене координат Кривизна Два языка: координатный и геометрический Роль Б. Римана История теории относительности Необходимость фантазии Задачи для разминки Метрика в пространстве скоростей Метрика на сфере Метрика на однополом гиперболоиде Метрика на торе Исследование геометрии Шварцшильда Что читать?	-
Лекция 2	Топология Обсуждаются математические структуры, которые будут использоваться далее в курсе. Дается определение топологии, обсуждается его смысл и приводятся примеры топологических пространств. Оглавление Введение Как устроена типичная математическая теория Какие структруры нам понадобятся Теория множеств Топология Определение топологии Открытые и замкнутые множества, окрестности Предел Непрерывность Веществанная прямая Топология через систему окрестностей Определения могут быть интереснее теорем Примеры О аксиомах отделимости Тривиальные топологии Двоеточие Александрова Рациональные числа p-Адическая топология p-Адические числа p-Адическая диффузия Квантовая гравитация и топология О сверхсветовых путешествиях	-
Тест 1 15 минут	5 заданий	-
Лекция 3	Дифференцируемое многообразие и тензоры на нем Обсуждается определение дифференцируемого многообразия и определяются тензоры на нем. Все определения даются на двух языках: координатном и геометрическом. Оглавление Введение Мотивировка Зачем это надо? Что значит всюду? Аналогия из географии. Карты и атлас Определение многообразия Резюме определения О топологии и дифференцируемости Эквивалентные атласы Хаусдорфовость Нехаусдорфово многообразие Нехаусдорфовы фантазии Координатное определение многообразия Тензоры на многообразии Скаляр Вектор Ковектор Тензор общего вида Двойственность тензорных обозначений Базисные ковекторы Градиент и дифференциал Преобразование ковектора Преобразование метрики Действие вектора на скаляр Базисные тензоры Признак тензора Пространства тензоров Тензорное произведение	-
Лекция 4	Производная Ли Определяется производная Ли, обсуждается ее геометрический смысл и применение в физике. Также обсуждаются понятия алгебры Ли и группы Ли. Оглавление Введение Тензорные поля Операции над тензорами Свертка Тензорное умножение Линейные комбинации Производная Ли Определение Производная вектора Производная ковектора Производная тензора Геометрический смысл Сдвиг вдоль векторного поля Произвоная Ли в теории относительности Алгебра Ли Скобки Пуассона	-
Тест 2 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 5	Скобки Пуассона, дифференциальные формы и поливекторы Скобка Пуассона рассматривается как скобка Ли, устанавливается ее связь с коммутаром векторных полей. Рассматриваются полностью антисимметричные тензоры: формы и поливекторы. Обсуждаются операции, которые позволяют удобно работать именно с антисимметричными тензорами. Оглавление Введение Скобки Пуассона Билинейная форма от градиентов Аналогия со метрикой Различение координат и импульсов Глобальных канонических координат может не быть Условие на тензор J и тождество Якоби Пуассоновы и симплектические многообразия Скобка Пуассона и коммутатор Полностью антисимметричные тензоры Теорема о зеленых слонах Число компонент Антисимметризация и симметризация Поливекторы и дифференциальные формы Геометрический смысл поливектора Геометрический смысл дифференциальной формы Внешнее произведение Базисные формы и поливекторы Пример Определение внешнего произведения Компоненты внешнего произведения Примеры внешнего умножения Внешняя производная Внешняя производная даёт тензор Комбинации симметризации и антисимметризации Интегрирование дифференциальных форм Разбиение единицы и интегрирование Интегрирование по поверхности Проекция формы на поверхность Теорема Стокса (формулировка)	-
Лекция 6	Дифференциальные формы, поверхности, дуальность Демонстрируется геометрический смысл дифференциальных форм как непрерывного распределения поверхностей и смысл поверхностей, как сингулярных дифференциальных форм. Вводится форма объема и используется для определения операции ходжевской дуальности и дивергенции поливектора. Вводится метрика. Обсуждается физический смысл вводимых понятий. Оглавление Введение Теорема Стокса Обсуждение теоремы Стокса Теорема Арнольда Линейные функционалы на формах Касательное пространство и расслоение Кокасательное пространство и расслоение Тензорные пространства и расслоения Расслоения дифференциальных форм и поливекторов Поливектора в точке как линейные функционалы Разные виды линейных функционалов на формах Обобщенные функции и формы Поверхности как обобщенные функции-формы Явное представление поверхности как формы Граница и внешняя производная Теорема Стокса с заменой поверхности на форму Правило Лейбница для внешней производной Взятие края и внешняя производная - ответ Форма как распределение поверхностей Пример: поток поля через сферу Электромагнитное поле как тензор и форма Интегрирование поля по поверхности Физический смысл Форма объема и ходжевская дуальность Компактность многообразия и обобщенные функции Компоненты формы объема Ходжевская дуальность Примеры Обратная дуальность Пример (электромагнитное поле) Дивергенция поливектора Ошибка лектора: не 1-я, а 2-я пара уравнений Максвелла Компонентная запись дивергенции Пример из практики: моделирование жидкости Дифференциальные формы в присутсивии метрики A - пропущен множитель sgn(g) Определение формы объема через метрику Тензоры и псевдотензоры. Полярные и аксиальные векторы В следующий раз - действие для э-м поля	-
Тест 3 18 минут	6 заданий	-
Лекция 7	Электромагнитное поле на языке дифференциальных форм. Действие Демонстрируется удобство записи основных уравнений электродинамики на языке дифференциальных форм. Рассматриваются формы потенциала, электромагнитного поля, плотности тока. Действие для электромагнитного поля записывается и варьируется полностью на языке дифференциальных форм. Оглавление Введение Обобщение дивергенции и ротора Потенциал и поле Точеченый заряд Вторая внешняя производная дает ноль (ddA=0) Форма и тензор электромагнитного поля Форма магнитного поля входит в дуальном виде Поток электрического поля Формулы для дуальной и дважды дуальной формы Знак поливектора максимальной степени Дуальное поле для точечного заряда Пример проекции дифференциальной формы Действие для электромагнитного поля Действие на тензорном языке Переход к геометрическим обозначениям Свертка через дуальность и внешнее произведение Действие через формы Вариация действия Возвращение к тензорным обозначениям Под производной потерян множитель (корень из \|g\|) Роль действия О роли действия при квантовании Принцип Ферма в геометрической оптике Оптическое свойство эллипса Действие в механике (физические соображения) Принцип Гюйгенса и принцип Ферма Квантовая механика как волновая механика Вариация как дифференциал Вариация как производная по направлению В следующий раз: ковариантные производные	-
Лекция 8	Ковариантная прозводная Вводятся понятия ковариантной производной, связности и параллельного переноса. Строятся тензоры кручения и кривизны. Вводится понятие расслоения над группой. Оглавление Введение Ковариантная производная Условия на ковариантную производную Ковариантная производная вдоль вектора Производная от вектора Производная от базисного вектора Появляется нетензорный объект (связность) Различие индексного и геометрического языков Доп. условие: перестановочность производной и свертки Ковариантная производная от ковектора Сравнение производных вектора и ковектора Ковариантная производная тензора Символ Кристоффеля (связность) Закон преобразования Во 2-м члена на правой доске потерян множитель w^M Закон преобразования: результат и обсуждение Тензор кручения Символ Кристоффеля как новая структура (связность) Параллельный перенос Зависимость параллельного переноса от траектории Формула параллельного переноса Проверка формулы Тензор кривизны (тензор Римана) Коммутатор от ковариантных производных Выявление тензора кручения Раскрытие скобок Антисимметризация Выписывание ответа Доказательство того, что тензор кривизны - действительно тензор Структура тензора кривизны (два сорта индексов) Базис не связанный с координатами Разделяем замену базиса и замену координат Теперь в кривизне действительно два сорта индексов Векторные расслоения. Примеры Отличие расслоения от прямого произведения Расслоение над группой G Слой и группа Структура расслоения Пример: волновая функция, как расслоение над группой U(1) Карты в расслоени Пример: лист Мебиуса Пример: тензор э.-м. поля как тензор кривизны	-
Тест 4 18 минут	6 заданий	-
Лекция 9	Расслоения, связности, ковариантные производные Вводятся понятия расслоения и связности над расслоением. Обсуждается их геометрический и физический смысл. Понятия параллельного переноса и кривизны обобщаются на расслоения. Вводится понятие калибровочного поля, которое иллюстрируется физическими примерами. Выводится связь между метрикой, символами Кристоффеля и ньютоновским гравитационным полем. Оглавление Введение Расслоение Векторные расслоения Возможность введения разных групп и полный атлас Касательное расслоение для пространства с метрикой Сечение расслоения Пример: антипериодические гран. условия и лист Мебиуса Связность над расслоением Ковариантная производная вектора и расслоение Параллельный перенос в расслоении и генераторы группы Пример: электромагнитное поле и группа Лоренца (m=1) Электромагнитное поле как калибровочное поле Удлиненная (ковариантная) производная (путаница с знаками) Калибровочная U(1) симметрия Тензор кривизны для э-м поля О более сложных калибровочных полях Плоское и искривленное пространство Внешняя ковариантная производная Тензор кривизны и внешняя ковариантная производная Вторая внешняя коваринтная производная Калибровочные поля в физике Откуда берутся коэффициенты связности в ОТО? Выражение символов Кристоффеля через метрику и кручение Выражение символов Кристоффеля через метрику в ОТО Обращение связности в нуль выбором системы координат Уравнение геодезической Физический смысл уравнения геодезической Ньютоновский потенциал и метрика Различие гравитации и электромагнитизма В следующий раз выведем уравнение геодезической из действия	-
Лекция 10	Действие в общей теории относительности Из действия для частицы в гравитационном поле выводятся уравнения движения, которые совпадают с уравнениями геодезической. Вводится и варьируется действие для гравитационного поля (пространства-времени). Получаются уравнения Эйнштейна. Оглавление Введение Частица в гравитационном поле Во 2-й производной в знаменателе потеряна 2-я степень Действие для частицы и интервал Вариациая действия Выражение уравнения геодезической через связность Обсуждение Действие для гравитационного поля Тензор Риччи Скалярная кривизна Разные выражения для действия Другие варианты выбора переменных (тетрады) Вариация по действия по метрике Запись определителя через свёртки Вариация определителя Вариация элемента объёма Вариация обратной метрики Вариация действия по метрике и уравнения Эйнштейна Вариация действия по связности Изменение связности - тензор! Изменение тензора Римана при изменении связности Вариация тензоров Римана и Риччи Завершение вычисления для самостоятельной работы Частичное объяснение результата Тензор энергии-импульса и уравнений Эйнштейна Есть разные определения тензора энергии-импульса Введения двух ковариантных производных как вычислительный приём Иногда удобно вводить две разные метрики Скрученное произведение (warped product) В следующий раз обсудим тензор энергии-импульса	-
Тест 5 18 минут	6 заданий	-
Лекция 11	Энергия, импульс и уравнения Эйнштейна Обсуждаются свойства уравнений Эйнштейна. Обсуждается роль тензора энергии-импульса в общей теории относительности. Разбирается простейшие пример скалярного поля материи. Обсуждаются уравнения для слабого гравитационного поля как линейное приближение уравнений Эйнштейна. Оглавление Введение Уравнения Эйнштейна Свойства тензора Римана в разных случаях Антисимметричность Тождество Бианки (для симметричной метрической связности) Обнуления при антисимметризации трех нижних индексов Антисимметричность по первым двум индексам Симмеричность при перестановке 1-й и 2-й пар индексов Число компонент тензора Римана В двумерном случае тензор Римана задается одной компонентой В трехмерном случае - 6 компонент Четырехмерный случай - простейший нетривиальный Русский и французский способ формулировки теорем Сохранение энергии-импульса и уравнения Эйнштейна Тождество Бианки и следствия из него Сохранение (ковариантное) энергии-импульса Отличие ковариантных законов сохранения от настоящих Закон сохранения электрического заряда Закон сохранения заряда - это настоящий закон сохранения Ковариантная дивергенция от тензора энергии-импульса Энергия и импульс гравитационного поля Энергия и импульс гравитационного поля нелокальны О псевдотензоре энергии-импульса гравитационного поля Определение энергии, импульса и момента импульса на бесконечности Бесконечности может не быть Энергия замкнутой Вселенной равна нулю? Сколько надо энергии, чтобы создать Вселенную? Минимальное взаимодействие материи с гравитацией Примеры тензора энергии-импульса Скалярное поле (теормеханическое определение) Определение тензора энергии-импульса из теории относительности Сравнение двух определений для скалярного поля Уравнения скалярного поля следуют из сохранения энергии-импульса Слабые гравитационные поля и волны Какими полями описываются разные волны Мультиполи, поляризации, спин и разные волны Поляризации гравитационной волны О калибровочных преобразованиях для гравитационного поля Число поляризаций и безмассовость переносчиков поля	-
Лекция 12	Гравитационные волны. Глобальная структура пространства-времени Рассмотрены бесконечномалые преобразования координат. Подсчитано число калибровочных условий. Выведены уравнения гравитационных волн. Вводятся и обсуждаются на примерах диаграммы Ньюмана-Пенроуза. Оглавление Введение Бесконечномалые преобразования координат Активная и пассиваная замена координат Матрицы Якоби бесконечномалого преобразования Преобразование метрики Запись через ковариантные производные Калибровочное преобразование и производная Ли Вектор Киллинга Подсчет числа калибровочных условий Вывод уравнений для гравитационных волн Тензор Риччи в линейном приближении Скалярная кривизна Тензор Эйнштейна Подбор и наложение калибровочных условий Уравнение после наложения калибровки Неминимальность взаимодействия гравитационных волн с фоновой метрикой Диаграммы Ньюмана-Пенроуза и глобальная структура пространства-времени Двумерное пространство Минковского Бесконечности плоскости Минковского Пространство Минковского О более сложных пространствах Решение Шварцшильда Заряженная черная дыра О решении Геделя Принцип космологической цензуры О теореме о сингулярностях О темной энергии Диаграмма Пенроуза реальной черной дыры О сверхсветовом движении	-
Лекция 13	Геометрическое моделирование упругих сред Излагается геометрический метод построения моделей релятивистских упругих сред без диссипации. Рассматриваются примеры, обсуждаются возможности построения сложных моделей, преимущества и сложности рассматриваемого подхода. В рамках курса данная лекция может рассматриваться как факультативная. Оглавление Введение Релятивистские упругие среды без диссипации Кинематика Явное описание движения среды Неявное описание движения среды Пространство среды и движение среды Чем лучше кинематика, тем проще динамика Действие Инвариантность при замене координат в пространстве-времени Инвариантность при замене координат в пространстве среды Необходимость дополнительный параметров (структур) Жидкость Жидкость в других переменных Плотность тока жидкости и уравнение непрерывности Действие для произвольной жидкости Тензор энергии-импульса Пыль (газ без давления) Пыль и отдельные частицы Упругая среда Независимые скаляры О обощениях Струнная среда Мембранная среда О крае среды Сложные модели Сшивка элементов среды Построение модели из блоков Многокомпонентная среда Примеры (точные решения уравнений Эйнштейна) Заряженная пыль (обобщение решения Маджумдара-Папапетру) Черная дыра с радиальными струнами О вырожденности описанных примеров Сверхпроводящая жидкость с магнитным полем Соответствия со стандартной теорией упругости Тензор конечных деформаций Тензор напряжений О перспективах и сложностях развития модели	-
Тест 6 27 минут	9 заданий	-
5 часов	Экзамен	-

Авторизоваться

Геометрические методы в классической теории поля

Предварительные курсы

План занятий