G. Список неприводимых и примитивных полиномов

Из курса "Математика криптографии и теория шифрования" мы узнали, что неприводимый полином в GF(2ⁿ) - полином степени n, который не может быть разложен на множители - полиномы со степенью меньше, чем n. Мы также узнали, что примитивный полином - это неприводимый полином, который является делителем числа 2^e + 1, где. e - наименьшее целое числа в форме. e = 2^k 1 и. k >= 2. Это означает, что примитивный полином - обязательно неприводимый полином, но неприводимый полином - не обязательно примитивный полином. Таблица G.1 показывает неприводимые и примитивные полиномы для степеней 1 - 8. В круглых скобках показаны неприводимые, но не примитивные полиномы.

Чтобы найти полином, представленный в таблице шестнадцатеричным числом, сначала запишите число в двоичном виде, а затем преобразуйте его в полином.

Пример G.1

Найдите первый примитивный полином степени 7.

Решение

Первое число для степени 7 - 83 в шестнадцатеричном виде, которое является и неприводимым, и примитивным полиномом. Целое число 83 в шестнадцатеричном виде эквивалентно 1000 0011 в двоичном. Соответствующий полином -. x⁷ + x + 1.

Пример G.2

Найдите первый неприводимый полином, который не примитивен.

Решение.

Полином степени 6, который будет первым непримитивным полиномом степени 6, - (45) в шестнадцатеричном виде. Целое число 45 в шестнадцатеричном виде эквивалентно 100 0101 в двоичном виде (обратите внимание, что мы должны сохранить только 7 битов). Соответствующий полином -. x⁶ + x² + 1.

Пример G.3

Найдите второй неприводимый полином степени 8, который не примитивен.

Решение

Второй непримитивный полином степени 8 - (139) в шестнадцатеричном виде. Целое шестнадцатеричное число эквивалентно 1 0011 1001 в двоичном виде (обратите внимание, что мы должны сохранить только 9 битов). Соответствующий полином - x⁸ + x⁵ + x⁴ + x³ + 1.