НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию автоматов. Лекция 1: Основные понятия теории абстрактных автоматов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 30 студентам

| Поделиться |

Поддержать

| Скачать электронную книгу

1.2. Методы задания автоматов

Для задания конечного автомата S требуется описать все элементы множества

$S=\{A, W, Z, \delta, \lambda, а_1\},$

наиболее часто используемой формой описания элементов множества S используется табличный, графический, матричный способы.

Теоретико-множественное представление автоматов.

Для задания конечного автомата $S={A, Z, W, \delta, \lambda, a_1}$ все элементы множества должны быть заданы явно. Так для автомата Мили:

$A=\{a_1, a_2, \dots, a_M\}$ - алфавит состояний;

$W=\{w_1, w_2,\dots, w_G\}$ - выходной алфавит;

$Z=\{z_1, z_2, \dots,z_F\}$ - входной алфавит;

$\delta: A \times Z \to A(a_s = \delta (a_m,z_i)/a_s \inA);$

$\lambda: A \times Z \to W(w_s = \lambda (a_m, z_i)/ a_s \in A, w \in W);$

$a_1 \in A$ - начальное состояние автомата.

Например, автомат Мили $S_1=( A, Z, W, \delta, \lambda, a_1)$ , представленный в табл.1.3 в явной форме описывается так:

$A=\{a_1, a_2, a_3 \}; Z= \{ z_1, z_2\}; W= \{ w_1, w_2\}; \delta: a_2= \delta( a_1 , z_1); a_3= \delta( a_1 , z_2); a_1= \delta( a_2 , z_1); a_3= \delta( a_2 , z_2); a_3= \delta( a_3 , z_1); a_2= \delta( a_3 , z_2); \lambda: w_1= \lambda( a_1 , z_1); w_2= \lambda ( a_1 , z_2); w_2= \lambda ( a_2 , z_1); w_1= \lambda ( a_2 , z_2); w_1= \lambda ( a_3 , z_1); w_2= \lambda ( a_3 , z_2).$

Автомат Мура $S_2=( A, Z, W, \delta, \lambda, a_1)$ , представленный в табл.1.8 в явной форме описывается так:

$A=\{a_1, a_2, a_3 , a_4, a_5 \}; Z= \{ z_1, z_2, z_3\}; W= \{ w_1, w_2, w_3\}; \delta: a_2= \delta( a_1 , z_1); a_1= \delta( a_1 , z_2); a_4= \delta( a_2 , z_3); a_1= \delta( a_2 , z_1); a_5= \delta( a_2 , z_2); a_3= \delta( a_2 , z_3); a_1= \delta( a_3 , z_1); a_2= \delta( a_3 , z_2); a_5= \delta( a_3 , z_3); a_1= \delta( a_4 , z_1); a_5= \delta( a_4 , z_2); a_2= \delta( a_4 , z_3); a_1= \delta( a_5 , z_1); a_3= \delta( a_5); a_4= \delta( a_5 , z_3); \lambda: w_1= \lambda( a_1); w_3= \lambda ( a_2); w_2= \lambda ( a_3); w_1= \lambda ( a_4); w_3= \lambda ( a_5).$

Табличная форма.

Табличная форма для автомата Мили иллюстрируется табл.1.1 (переходов) и табл.1.2 (выходов).

Таблица 1.1.
z _f \a_m	a₁	…	a_M
z₁	$\delta (a_ 1 , z_1)$		$\delta (a_ M , z_1)$
…	…	…	…
z _F	$\delta (a_ 1 , z_F)$		$\delta (a_ M , z_F)$

Таблица 1.2.
z _f\a_m	a₁	…	a_M
z₁	$\lambda (a_ 1 , z_1)$		$\lambda (a_ M , z_1)$
…	…	…	…
z _F	$\lambda (a_ 1 , z_F)$		$\lambda (a_ M , z_F)$

Строки этих таблиц соответствуют входным сигналам, а столбцы - состояниям, причем крайний левый столбец обозначен начальным состоянием а_1 . На пересечении столбца a_m и строки z_f …. в таблице переходов ставится функция перехода $\delta (a_ m , z_f)$ , то есть состояние, в которое автомат переходит из состояния a_m под действием входного сигнала z_f, а в таблице выходов - выходная функция $\lambda (a_m , z_f)$ , то есть соответствующий этому переходу выходной сигнал w_g .

Пример табличного способа задания автомата Мили показан в табл. 1.3 (переходов) и табл. 1.4 (выходов).

Таблица 1.3.
z _f \a_m	a₁	a₂	a₃
z₁	a₂	a₁	a₃
z₂	a₃	a₃	a₂

Таблица 1.4.
z _f \a_m	a₁	a₂	a₃
z₁	w₁	w₂	w₁
z₂	w₂	w₂	w₂

Автомат называется частично заданным, если он определен не для всех пар переходов ( a_m, z_f ). Для частично заданного автомата на месте отсутствующего перехода ставится прочерк как в таблице переходов, так и в таблице выходов.

Пример табличного способа задания частичного автомата показан в табл.1.5 (переходов) и табл.1.6 (выходов).

Таблица 1.5.
z _f\ a_m	a₁	a₂	a₃	a₄
z₁	a₂	a₁	a₃	-
z₂	a₃	a₃	a_-	a₁
z₃	-	a₄	a₂	a₄

Таблица 1.6.
z _f\ a_m	a₁	a₂	a₃	a₄
z₁	w₁	w₂	w₁	-
z₂	w₂	w₁	-	w₂
z₃	-	w₁	w₂	w₁

Табличная форма задания автомата Мура представляет собой совмещенную табл.1.7, в которой выходной сигнал, соответствующий состоянию в a_m автомате Мура размещен в верхней строке над соответствующими состоянием, а остальная информация аналогична представлению автомата Мили.

Пример представления автомата Мура приведен в табл.1.8.

Таблица 1.7.
\w_G	w₁		w_G
z_f\ a_m	a₁	…	a_m
z₁	$\delta (a_ 1 , z_1)$		$\delta (a_ M , z_1)$
…	…	…	…
z_F	$\delta (a_ 1 , z_F)$		$\delta (a_ M , z_F)$

Таблица 1.8.
\ w_G	w₁	w₃	w₂	w₁	w₃
z_f\ a_m	a₁	a₂	a₃	a₄	a₅
z₁	a₂	a₁	a₁	a₁	a₁
z₂	a₃	a₅	a₂	a₅	a₃
z₃	a₄	a₃	a₅	a₂	a₄

Графовая форма задания абстрактных автоматов

В данном случае автомат $S=\{A, Z,W, \delta, \lambda, a_1\}$ представляется графом, в котором:

множество изображено вершинами графа;
функция $\delta$ задана дугами графа, причем две вершины графа и , соединяются дугой, если в автомате существует переход из в ;
множество изображено метками дуг: ставится на дуге из вершины в вершину , если в автомате существует переход из в под действием входного сигнала ;
функция $\lambda$ задана метками дуг или вершин: для автомата Мили дуга из вершины в вершину помечается выходным сигналом , если в автомате существует переход из в и при этом вырабатывается выходной сигнал ; а для автомата Мура выходным сигналом помечается вершина, определяющая $a_s= \lambda (a_m)$ .

На рисунке 1.8 приведены примеры описания автомата Мили и автомата Мура:

Рис. 1.8.

Матричная форма

Для автомата Мили матричная форма состоит из матрицы $C = |c_{ms}|$ размерностью $M \times M$ , где каждый элемент матрицы $c_{ms}=z_f/w_g,$ стоящий на пересечении -ой строки и -го столбца соответствует входному сигналу z_f , вызывающему переход из состояния a_m в состояние a_s с выработкой выходного сигнала w_g . Пример матричного описания автомата Мили показан ниже.

$С=\left|\left|\begin{array}{ccc} z_2/w_1 & - & z_1/w_1\\ z_1/w_1 & - & z_2/w_2\\ z_1/w_2 & z_2/w_1 & - \end{array}\right|\right|$
$С=\left|\left|\begin{array}{cccсс} -& z_1& -& z_1& - \\ -& -& z_2& -& z_1\\ -& z_2& -& z_1& -\\ -& -& z_1& -& z_2\\ z_2& -& -& z_1& - \end{array}\right|\right|$
$W=\left|\left|\begin{array}{c} w_1\\ w_2 \\ w_3\\ w_2 \\ w_3 \end{array}\right|\right|$

Для автомата Мура матричная форма состоит из матрицы $C = |c_{ms}|$ размерностью $M \times M$ , где каждый элемент матрицы $c_{ms} =z_f$ , стоящий на пересечении -ой строки и -го столбца, соответствует входному сигналу z_f , вызывающему переход из состояния a_m в состояние a_s. Так как выходной сигнал w_g . в автомате Мура зависит только от состояния, следовательно, выходные сигналы могут быть представлены матрицей-столбцом. Пример матричного описания автомата Мура показан на формуле, приведенной выше.

Дальше >>

Введение в теорию автоматов