Детерминированные контекстно-свободные языки

12.2*. Свойства класса детерминированных языков

Теорема 12.2.1. Каждый автоматный язык является детерминированным контекстно-свободным языком.

Доказательство. Утверждение следует из теоремы 2.7.1.

Лемма 12.2.2. Каждый детерминированный МП-автомат эквивалентен некоторому детерминированному МП-автомату , где для каждого перехода выполняется неравенство .

Доказательство. Пусть дан детерминированный МП-автомат . Назовем избытком перехода

натуральное число . Докажем лемму индукцией по сумме избытков всех переходов.

Шаг индукции. Пусть существует переход

с положительным избытком. Рассмотрим четыре случая.

Случай 1. . Обозначим первый символ слова x₀ через a₀. Преобразуем МП-автомат M в эквивалентный ему детерминированный МП-автомат с меньшей суммой избытков всех переходов. Для этого добавим новое состояние r и переход . Каждый переход вида заменим на переход . К полученному таким образом детерминированному МП-автомату применимо предположение индукции.

Случай 2. . Обозначим первый символ слова через C₀. Преобразуем МП-автомат M в эквивалентный ему детерминированный МП-автомат с меньшей суммой избытков всех переходов. Для этого добавим новое состояние r и переход . Каждый переход вида заменим на переход . К полученному таким образом детерминированному МП-автомату применимо предположение индукции.

Случай 3. Существует переход . Тогда переходы и совместны. Противоречие.

Случай 4. Существуют переход и переход , где и . Тогда переходы и совместны. Противоречие.

Лемма 12.2.3. Каждый детерминированный МП-автомат эквивалентен некоторому детерминированному МП-автомату , где каждый переход удовлетворяет условиям и .

Доказательство. Сначала применим лемму 12.2.2, затем преобразуем МП-автомат так, чтобы для каждого перехода выполнялось неравенство (см. пример 10.2.4), и в заключение заменим каждый переход вида на два последовательных перехода (см. пример 10.2.5).

Лемма 12.2.4. Пусть , и язык порождается некоторым детерминированным МП-автоматом. Тогда этот язык порождается также некоторым детерминированным МП-автоматом , где , ,

, и каждый переход удовлетворяет условиям и .

Доказательство. Применив лемму 12.2.3, получим детерминированный МП-автомат . Построим искомый МП-автомат , положив , , , , , ,

Теорема 12.2.5. Язык является детерминированным контекстно-свободным языком тогда и только тогда, когда найдется такой детерминированный МП-автомат , что

Доказательство. Достаточность проверяется легко. Докажем необходимость. Рассмотрим МП-автомат

о котором говорится в лемме 12.2.4.

Для любых и введем обозначение

Очевидно, что для любых , и .

Построим искомый МП-автомат , положив

(Напоминаем, что через обозначается множество всех подмножеств множества Q₂.)

Индукцией по количеству тактов работы можно доказать, что

тогда и только тогда, когда и для каждого .

Теорема 12.2.6. Пусть L - детерминированный контекстно-свободный язык. Тогда язык L не является существенно неоднозначным.

Доказательство. Пусть дан детерминированный контекстно-свободный язык L. Рассмотрим МП-автомат

о котором говорится в лемме 12.2.4. Применив к этому МП-автомату конструкцию из доказательства теоремы 10.2.7, получим однозначную контекстно-свободную грамматику G, порождающую язык . Стирая в этой грамматике все вхождения символа , получим контекстно-свободную грамматику G', порождающую язык L.

Так как МП-автомат M не содержит переходов, ведущих из Q₂ в Q₁, а символ встречается только на переходах, ведущих из Q₁ в Q₂, то в каждом G' -выводе однозначно определяется правило, которому в G соответствует правило, содержащее . Поэтому существует естественное однозначное соответствие между деревьями вывода в грамматике G' и деревьями вывода в грамматике G (при этом кроны соответствующих друг другу деревьев различаются только символом ). Следовательно, грамматика G' тоже является однозначной.

Теорема 12.2.7. Дополнение каждого детерминированного контекстно-свободного языка является детерминированным контекстно-свободным языком.

Доказательство можно найти в [7, c. 110-116] или [2, c. 212-217].

Пример 12.2.8. Язык над алфавитом {a,b,c} не является детерминированным контекстно-свободным языком, так как его дополнение не является контекстно-свободным.

Теорема 12.2.9. Неверно, что для любых детерминированных контекстно-свободных языков L₁ и L₂ язык тоже является детерминированным контекстно-свободным языком.

Доказательство. Достаточно рассмотреть детерминированные контекстно-свободные языки L₁ и L₂ из доказательства теоремы 9.5.1.

Теорема 12.2.10. Неверно, что для любых детерминированных контекстно-свободных языков L₁ и L₂ язык тоже является детерминированным контекстно-свободным языком.

Доказательство. Утверждение следует из теорем 12.2.7 и 12.2.9 и закона де Моргана.

Упражнение 12.2.11. Является ли детерминированным контекстно-свободный язык ?