НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 12: Дополнительные свойства контекстно-свободных языков

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать

| Скачать электронную книгу

Аннотация: В данной лекции рассматриваются свойства контекстно-свободных языков, которые удобно доказывать с привлечением автоматов с магазинной памятью, а также формулируются два критерия контекстной свободности, интересных в основном с теоретической точки зрения. Приведены практические примеры и упражнения для самостоятельного решения

Ключевые слова: контекстно-свободный язык, контекстно-свободная грамматика

В этой лекции излагаются те свойства контекстно-свободных языков, которые удобно доказывать с привлечением автоматов с магазинной памятью. В первых двух разделах приводятся некоторые свойства замкнутости класса контекстно-свободных языков (замкнутость относительно деления, взятия гомоморфного образа и полного гомоморфного прообраза). В конце лекции формулируются два критерия контекстной свободности, интересных в основном с теоретической точки зрения.

11.1*. Деление контекстно-свободных языков

Теорема 11.1.1. Пусть L₁ - контекстно-свободный язык над алфавитом $\Sigma$ и L₂ - автоматный язык над алфавитом $\Sigma$ . Тогда язык $\{ x \in \Sigma ^* \mid ( \exists y \in L_2 ) \, x y \in L_1 \}$ является контекстно-свободным.

Доказательство. Пусть $\lalg Q_1 , \Sigma , \Gamma_1 , \Delta_1 , I_1 , F_1 \ralg$ - МП-автомат, распознающий язык L₁. Без ограничения общности можно считать, что для каждого перехода $\lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta_1$ выполняется неравенство $| x | \leq 1$ .

Пусть $\lalg Q_2 , \Sigma , \Delta_2 , I_2 , F_2 \ralg$ - конечный автомат, распознающий язык L₂. Без ограничения общности можно считать, что

$Q_1 \cap ( Q_1 \times Q_2 ) = \varnothing$

и для каждого перехода $\lp p , x , q \rp \in \Delta_2$ выполняется равенство |x| = 1.

Тогда язык $L = \{ x \in \Sigma ^* \mid ( \exists y \in L_2 ) \, x y \in L_1 \}$ распознается МП-автоматом $\lalg Q , \Sigma , \Gamma_1 , \Delta , I , F \ralg$ , где $Q = Q_1 \cup ( Q_1 \times Q_2 )$ , I = I₁, $F = F_1 \times F_2$ и

$\begin{align*} \Delta &= \Delta_1 \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ \lp \lp p_1 , \varepsilon , \varepsilon \rp , \lp \lp p_1 , p_2 \rp , \varepsilon \rp \rp \mid p_1 \in Q_1 \commaand p_2 \in I_2 \} \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ \lp \lp \lp p_1 , p_2 \rp , \varepsilon , \beta \rp , \lp \lp q_1 , q_2 \rp , \gamma \rp \rp \mid \lp \lp p_1 , a , \beta \rp , \lp q_1 , \gamma \rp \rp \in \Delta_1 \commaand \\ &\myqquad \hphantom{ {} \cup{} \{ } %\} \lp p_2 , a , q_2 \rp \in \Delta_2 \mathspace\text{для некоторого}\mathspace a \in \Sigma \} \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ \lp \lp \lp p_1 , p_2 \rp , \varepsilon , \beta \rp ,\! \lp \lp q_1 , p_2 \rp ,\! \gamma \rp \rp \squeeze{\mid} \lp \lp p_1 , \varepsilon , \beta \rp ,\! \lp q_1 ,\! \gamma \rp \rp \squeeze{\in} \Delta_1 \commaand p_2 \squeeze{\in} Q_2 \} . \end{align*}$

Пример 11.1.2. Пусть $\Sigma = \{ a , b \}$ , язык L₁ распознается МП-автоматом

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,1} ^{a,\varepsilon:C} \ar "2,1" ^{\varepsilon,\varepsilon:C} \\ *=[o][F=]{2} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,-1} ^{b,C:\varepsilon} }$

и язык L₂ распознается конечным автоматом

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{3} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "1,2" <0.6mm> ^{b} & *=[o][F=]{4} \ar "1,1" <0.6mm> ^{b} } \ .$

Следуя доказательству теоремы 11.1.1, получаем, что язык

$\{ x \in \Sigma ^* \mid ( \exists y \in L_2 ) \, x y \in L_1 \}$

распознается МП-автоматом, изображенным ниже.

$\objectwidth={7.5mm} \objectheight={7.5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,1} ^{a,\varepsilon:C} \ar "2,1" ^{\varepsilon,\varepsilon:C} \ar "1,2" ^{\varepsilon,\varepsilon:\varepsilon} & *=[o][F-]{1,3} \ar "2,2" ^{\varepsilon,\varepsilon:C} & *=[o][F-]{1,4} \ar "2,3" ^{\varepsilon,\varepsilon:C} \\ *=[o][F-]{2} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,-1} ^{b,C:\varepsilon} \ar "2,2" ^{\varepsilon,\varepsilon:\varepsilon} & *=[o][F-]{2,3} \ar "2,3" <0.6mm> ^{\varepsilon,C:\varepsilon} & *=[o][F=]{2,4} \ar "2,2" <0.6mm> ^{\varepsilon,C:\varepsilon} }$

Пример 11.1.3. Пусть $\Sigma = \{ a , b \}$ , $L_1 = \{ w \in \Sigma ^* \mid | w |_a = | w |_b \}$ и $L_2 = \{ a^n \mid n \geq 2 \}$ . Тогда

$\{ x \in \Sigma ^* \mid ( \exists y \in L_2 ) \, x y \in L_1 \} = \{ w \in \Sigma ^* \mid | w |_a + 2 \leq | w |_b \} .$

Пример 11.1.4. Пусть $\Sigma = \{ a , b \}$ , $L_1 = \{ w \in \Sigma ^* \mid w = w \reverse \}$ и $L_2 = \{ u aabb v \mid u \in \Sigma ^* \commaand v \in \Sigma ^* \}$ . Тогда

$\{ x \in \Sigma ^* \mid ( \exists y \in L_2 ) \, x y \in L_1 \} = \Sigma ^* .$

Замечание 11.1.5. Пусть $\Sigma = \{ a , b , c \}$ и $L \subseteq \Sigma ^*$ . Язык $L \cdot \{ c \}$ является контекстно-свободным тогда и только тогда, когда язык L является контекстно-свободным.

Упражнение 11.1.6. Существует ли такой контекстно-свободный язык $L \subseteq \Sigma ^*$ , что язык Subw не является контекстно-свободным?

Упражнение 11.1.7. Существует ли такой контекстно-свободный язык L над алфавитом {a,b}, что язык $\{ w \mid ( \exists n \geq 0 )\, w a^{2n} \in L \}$ не является контекстно-свободным?