Введение в моделирование объектов, процессов и явлений

Совокупность двух логических функций вида: может служить логической моделью одноразрядного сумматора компьютера.

Пусть игрок 1 – добросовестный налоговый инспектор, а игрок 2 – недобросовестный налогоплательщик. Идет "игра" по уклонению от налогов (с одной стороны) и по выявлению сокрытия уплаты налогов (с другой стороны). Игроки выбирают натуральные числа i и j ( ), которые можно отождествить, соответственно, со штрафом игрока 2 за неуплату налогов при обнаружении факта неуплаты игроком 1 и с временной выгодой игрока 2 от сокрытия налогов. Каждый элемент этой матрицы A определяется по правилу a_ij = |i – j| . Модель игры описывается этой матрицей и стратегией уклонения и поимки.

Алгоритмической моделью вычисления суммы бесконечного убывающего ряда чисел может служить алгоритм вычисления конечной суммы ряда до некоторой заданной степени точности.

Правила правописания – языковая, структурная модель. Глобус – натурная географическая модель земного шара. Макет дома является натурной геометрической моделью строящегося дома. Вписанный в окружность многоугольник дает визуальную геометрическую модель окружности на экране компьютера.

Тип модели зависит от связей и отношений его подсистем и элементов, окружения, а не от его физической природы.

Пример. Математические описания ( модели ) динамики эпидемии инфекционной болезни, радиоактивного распада, усвоения второго иностранного языка, выпуска изделий производственного предприятия и т.д. являются одинаковыми с точки зрения их описания, хотя процессы различны.

Основные свойства любой модели:

• целенаправленность;
• конечность;
• упрощенность;
• приблизительность;
• адекватность;
• информативность;
• полнота;
• замкнутость и др.

Жизненный цикл моделируемой системы:

• сбор информации;
• проектирование;
• построение;
• исследование;
• оценка;
• модификация.

Наука моделирования состоит в разделении процесса моделирования (системы, модели ) на этапы (подсистемы, подмодели), детальном изучении каждого этапа, взаимоотношений, связей, отношений между ними и затем эффективного описания их с максимально возможной степенью формализации и адекватности.

Приведем примеры применения математического, компьютерного моделирования в различных областях:

• энергетика: управление ядерными реакторами, моделирование термоядерных процессов, прогнозирование энергетических процессов, управление энергоресурсами и т.д.;
• экономика: моделирование, прогнозирование экономических и социально-экономических процессов, межбанковские расчеты, автоматизация работ и т.д.;
• космонавтика: расчет траекторий и управления полетом космических аппаратов, моделирование конструкций летательных аппаратов, обработка спутниковой информации и т.д.;
• медицина: моделирование, прогнозирование эпидемий, инфекционных процессов, управление процессом лечения, диагностика болезней и выработка оптимальных стратегий лечения и т.д.;
• производство: управление техническими и технологическими процессами и системами, ресурсами (запасами), планирование, прогнозирование оптимальных процессов производства и т.д.;
• экология: моделирование загрязнения экологических систем, прогноз причинно-следственных связей в экологической системе, откликов системы на те или иные воздействия экологических факторов и т.д.;
• образование: моделирование междисциплинарных связей и систем, стратегий и тактик обучения и т.д.;
• военное дело: моделирование и прогнозирование военных конфликтов, боевых ситуаций, управления войсками, обеспечение армий и т.д.;
• политика: моделирование и прогнозирование политических ситуаций, поведения коалиций различного характера и т.д.;
• социология, общественные науки: моделирование и прогнозирование поведения социологических групп и процессов, общественного поведения и влияния, принятие решений и т.д.;
• СМИ: моделирование и прогнозирование эффекта от воздействия тех или иных сообщений на группы людей, социальные слои и др.;
• туризм: моделирование и прогнозирование потока туристов, развития инфраструктуры туризма и др.;
• проектирование: моделирование, проектирование различных систем, разработка оптимальных проектов, автоматизация управления процессом проектирования и т.д.

Современное моделирование сложных процессов и явлений невозможно без компьютера, без компьютерного моделирования.

Компьютерное моделирование – основа представления (актуализации) знаний как в компьютере, так и с помощью компьютера и с использованием любой информации, которую можно актуализировать с помощью ЭВМ.

Разновидность компьютерного моделирования – вычислительный эксперимент, осуществляемый экспериментатором над исследуемой системой или процессом с помощью орудия эксперимента – компьютера, компьютерной технологии. Вычислительный эксперимент позволяет находить новые закономерности, проверять гипотезы, визуализировать события и т.д.

Компьютерное моделирование от начала и до завершения проходит следующие этапы.

1. Постановка задачи.
2. Предмодельный анализ.
3. Анализ задачи.
4. Исследование модели.
5. Программирование, проектирование программы.
6. Тестирование и отладка.
7. Оценка моделирования.
8. Документирование.
9. Сопровождение.
10. Использование (применение) модели.

Пример. Рассмотрим популяцию рыб, из которой в текущий момент времени изымается некоторое количество особей (идет лов рыбы). Динамика такой системы определяется моделью вида: x_{i + 1} = x_i + аx_i – kx_i, х₀ = c , где k – коэффициент вылова (скорость изъятия особей). Стоимость одной пойманной рыбы равна b руб. Цель моделирования — прогноз прибыли при заданной квоте вылова. Для этой модели можно проводить имитационные вычислительные эксперименты и далее модифицировать модель, например следующим образом.

Эксперимент 1. Для заданных параметров a, c изменяя параметр k, определить его наибольшее значение, при котором популяция не вымирает.

Эксперимент 2. Для заданных параметров c, k изменяя параметр a, определить его наибольшее значение, при котором популяция вымирает.

Модификация 1. Учитываем естественную гибель популяции (за счет нехватки пищи, например) с коэффициентом смертности, равным, b: x_{i + 1} = x_i + аx_i – (k + b)x_i, х₀ = c .

Модификация 2. Учитываем зависимость коэффициента k от x (например, k = dx ): .