НОУ ИНТУИТ | Учебный видеокурс | Введение в математические модели механики сплошных сред

Опубликован: 25.06.2010 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно

В курсе дается введение в основные математические понятия, используемые при построении моделей механики сплошных сред.

В начале курса дается тензорное исчисление: дифференцирование тензоров, нахождение ковариантных и контравариантных компонентов, векторное произведение, тензоры первого и второго рангов, символы Кристоффеля и оператор Лапласа, псевдотензоры и кинематика сплошных сред. Далее изучаются тензоры деформации и уравнения движения механики сплошных сред, уравнения равновесия, тензоры напряжений и плотности потока импульса, термодинамика и модель идеальной среды, интеграл Бернулли.

Дополнительные курсы Математические модели механики сплошных сред

Вам нравится? Нравится 14 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Занятие	Заголовок <<	Дата изучения
	Экзамен экстерном	-
Лекция 1	Обзор курса и введение в тензорный анализ В лекции дается обзор курса, рассказывается о границах применения теории. Начинается введение в тензорное исчисление. Оглавление Введение Обзор курса Газы Число Кнудсена Переходный режим Теория сплошной среды описывает Понятие тензора Тензорное вычисление Тензорный анализ Историческая справка Система координат Основной базис Взаимный базис Выражение взаимного базиса Ориентация основного и взаимного базисов Касательный базис - действительный базис	-
Лекция 2	Ковариантные и контрвариантные компоненты вектора и векторное произведение В лекции рассматриваются система координат, нахождение ковариантных и контрвариантных компонентов, индексы компонентов и алгебра векторов в тензорном представлении. Оглавление Введение Три системы координат Ковариантные и контрвариантные компоненты Связь между ковариантными и контрвариантными компонентами Способы поднятия/опускания индексов у компонентов Пример на свойства компонентов Физические составляющие вектора Связь с помощью метрической матрицы основного базиса взаимных Существуют ли координаты с нижним индексом? Неголономные координаты Рассмотрение примера на базе сферической, прямоугольной и косоугольной систем координат Алгебра векторов в тензорном представлении Скалярное произведение Умножение axb Символ Леви-Чивита Понятие дискрименантные тензора	-
Тест 1 36 минут	12 заданий	-
Лекция 3	Векторное произведение Лекция посвящена подробному рассмотрению векторного произведения и роли преобразования координат в тензорном исчислении. Оглавление Введение Векторное произведение Векторное произведение векторов основного и взаимного базиса Произведение дискриминантных тензоров Свертка результата произведения дискриминантных тензоров Вывод выражений базисных векторов через векторные произведения Преобразования координат Общие сведения Формулы преобразования векторов основного базиса Формулы преобразования векторов взаимного базиса Формулы преобразования компонентов вектора Математическое определение вектора Примеры абсолютных скалярных величин Примеры тензорных величин	-
Лекция 4	Тензоры первого и второго рангов Лекция посвящена тензорам различного ранга. Оглавление Введение Тензоры первого ранга Преобразование компонентов тензора первого ранга Формулировка понятия вектора Тензоры второго ранга Полиадное произведение и его свойства Формулы преобразования компонентов тензора Операции жонглирования индексами Правила записи формул преобразования компонентов Умножение тензора на скаляр и сложение тензоров Симметричные и антисимметричные тензоры Метрический тензор Свертывание тензора Примеры полиадного произведения тензоров Скалярное произведение тензора Двойное скалярное произведение тензора Умножение метрического тензора	-
Тест 2 36 минут	12 заданий	-
Лекция 5	Дифференцирование тензоров Подробно раскрывается тема дифференцирование тензоров, приводятся практические примеры. Оглавление Введение Дифференцирование тензоров	-
Лекция 6	Символы Кристоффеля и дифференциалы тензоров Лекция посвящена элементам тензорнога анализа. Оглавление Введение Дифференцирование векторов основного базиса Символы Кристоффеля Выражение символов Кристоффеля через метрические коэффициенты Дифференцирование векторов взаимного базиса Свойства символов Кристоффеля Свертка символов Кристоффеля Оператор Гамильтона Физический смысл градиента Дифференциал тензора первого ранга Дифференциал тензора произвольного ранга Ковариантная производная контрвариантных компонент тензора	-
Тест 3 36 минут	12 заданий	-
Лекция 7	Дивергенция и ротор тензора. Оператор Лапласа В данной лекции продолжается описание основных элементов тензорного анализа. В частности, вводятся понятия дивергенции и ротора тензора. Оглавление Введение Элементы тензорного анализа Дивергенция тензора Ротор тензора I ранга Ротор тензора II ранга Ротор тензора произвольного ранга Оператор Лапласа Обратный тензорный признак Собственные значения симметричного тензора II ранга Собственные вектора симметричного тензора II ранга	-
Лекция 8	Псевдотензоры и кинематика сплошных сред В этой лекции заканчивается описание основ тензорного исчисления, необходимых для построения моделей сплошных сред, начинается переход к разделу кинематики сплошной среды. Оглавление Введение Инварианты симметричного тензора Псевдовектор Преобразование компонент антисимметричного тензора Правило определения псевдотензора Кинематика сплошных сред Введение Способы Эйлера и Лагранжа для описания движения сплошной среды Переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера Индивидуальная производная Субстациональная производная Местная производная	-
Тест 4 36 минут	12 заданий	-
Лекция 9	Тензор деформации Лекция знакомит слушателя с тензором деформаций, способами его вывода, его компонентами и их физическим смыслом. Оглавление Введение Тензор деформации Выражение тензора деформации через вектор перемещений Тензор Коши-Грина и тензор Альманси Компоненты тензора деформаций Физический смысл компонент тензора деформаций Физический смысл диагональных компонент тензора деформаций Физический смысл недиагональных компонент тензора деформаций	-
Лекция 10	Тензор скоростей деформаций и распределение скоростей жидкой частицы В данной лекции заканчивается описание основных понятий кинематики сплошной среды, таких как тензор скоростей деформаций и распределение скоростей в жидкой частице. Начинается вводная часть о применении законов механики к сплошной среде. Оглавление Введение Тензор скоростей деформаций Распределение скоростей жидкой частицы Физический смысл слагаемых формулы распределения скоростей жидкой частицы Вихревое движение жидкой частицы Составляющая скорости жидкой частицы от её деформации Формула Гельмгольца Введение в законы механики в сплошных средах Вспомогательные формулы Скорость относительного изменения объема частиц среды	-
Тест 5 36 минут	12 заданий	-
Лекция 11	Уравнения неразрывности и движения механики сплошной среды Лекция рассматривает уравнения неразрывности и движения механики сплошной среды, вытекающие, соответственно, из законов сохранения массы и количества движения. Вводится понятие тензора напряжения. Оглавление Введение Плотность Закон сохранения массы Уравнение неразрывности сплошной среды Соленоидальное поле течения сплошной среды Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа Взаимный переход уравнений неразрывности в переменных Эйлера и Лагранжа Теорема количества движения Массовые силы Поверхностные силы Теорема количества движения сплошной среды в интегральном виде Зависимость напряжения от положения площадки Уравнение движения Тензор напряжения Дивергенция тензора напряжения Уравнение импульсов	-
Лекция 12	Уравнение равновесия сплошной среды Данная лекция описывает физические составляющие тензора напряжения, уравнение равновесия сплошной среды, а также рассматривает теорему момента количества движения в применении к механике сплошной среды. Оглавление Введение Уравнение Эйлера Физическая составляющая тензора напряжения Уравнение равновесия сплошной среды Теорема момента количества движения Теорема момента количества движения для сплошной среды в интегральном виде Вывод симметричности тензора напряжения в сплошной среде без учета внутренних моментов	-
Тест 6 36 минут	12 заданий	-
Лекция 13	Тензоры напряжений и плотности потока импульса В этой лекции более подробно изучаются основные вопросы, связанные с тензором напряжений, в частности, его главные напряжения, описывается теорема "живых" сил, а также выводится тензор плотности потока импульса. Оглавление Введение Тензорная поверхность тензора напряжения Главные направления тензора напряжения Теорема количества движения в интегральном виде Тензор плотности потока импульса Практическое значение теоремы количества движения Теорема "живых" сил Плотность кинетической энергии Составляющие изменения кинетической энергии от работы массовых и поверхностных сил в сплошной среде	-
Лекция 14	Термодинамика сплошных сред и модель идеальной среды В данной лекции рассматривается применение законов термодинамики к механике сплошных сред и начинается описание основных моделей сплошных сред с идеальной среды (жидкости или газа). Оглавление Введение Термодинамика сплошных сред Основные положения термодинамики Закон сохранения энергии для сплошной среды в дифференциальной форме Энтальпия Уравнение притока тепла Второй закон термодинамики Физический смысл энтропии Модель идеальной среды Введение Понятие идеальной среды Уравнения Эйлера для идеальной среды Баротропная жидкость Граничные условия идеальной среды Уравнение энергии для идеальной среды Адиабата Пуассона Изоэнтропическое течение идеальной среды	-
Тест 7 36 минут	12 заданий	-
Лекция 15	Интеграл Бернулли Лекция в основной своей части посвящена интегралу Бернулли для идеального газа, его выводу, частным случаям, а также выводам и характеристикам идеальной среды, вытекающим из решения задач механики сплошной среды с помощью интеграла Бернулли. Оглавление Введение Изоэнтропическое течение идеальной среды Интеграл Бернулли Частные случаи интеграла Бернулли Скорость звука Ударная волна Полная энтальпия жидкой частицы Одномерная задача об истечении сжимаемого газа из сосуда	-
Лекция 16	Потенциальное и вихревое движение сплошной среды В этой лекции более подробно описываются потенциальное и вихревое движение сплошной среды для идеальной жидкости или газа. Для решения подобных задач представлены интеграл Коши-Лагранжа и теорема Стокса. Оглавление Введение Влияние сжимаемости среды при увеличении скорости Изменение плотности среды при увеличении скорости Потенциальное движение Интеграл Коши-Лагранжа Задача линейной акустики Вихревые движения идеальной жидкости Теорема Стокса	-
Тест 8 36 минут	12 заданий	-
5 часов	Экзамен	-

Авторизоваться

Введение в математические модели механики сплошных сред

Дополнительные курсы

План занятий