Критерий Крамера-Уэлча равенства математических ожиданий. Вместо критерия Стьюдента предлагаем для проверки H'₀ использовать критерий Крамера-Уэлча [12], основанный на статистике

\[ T=\frac{\sqrt{mn}(\bar x - \bar y)}{\sqrt{ns_x^2+ms_y^2}} \]

Критерий Крамера-Уэлча имеет прозрачный смысл - разность выборочных средних арифметических для двух выборок делится на естественную оценку среднего квадратического отклонения этой разности. Естественность указанной оценки состоит в том, что неизвестные статистику дисперсии заменены их выборочными оценками. Из многомерной центральной предельной теоремы и из теорем о наследовании сходимости [11] вытекает, что при росте объемов выборок распределение статистики Т Крамера-Уэлча сходится к стандартному нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Итак, при справедливости \[ H'_0 \] и больших объемах выборок распределение статистики \[ Т \] приближается с помощью стандартного нормального распределения \[ Ф(х) \] , из таблиц которого следует брать критические значения.

При \[ т=п \] , как следует из формул (1) и (6), \[ t=T \] . При \[ т \ne п \] этого равенства нет. В частности, при \[ s_x^2 \] в (1) стоит множитель \[ (m-1) \] , а в (6)- множитель \[ п \] .

Если \[ M(X) \ne M(Y) \] , то при больших объемах выборок

\[ P(T \le X) \approx Ф(x-c_{mn}) \]

где

\[ c_{mn}=\frac{\sqrt{mn}[M(X)-M(Y)]}{\sqrt{nD(X)+mD(Y)}} \]

При \[ т=п \] или \[ D(X)=D(Y) \] , согласно формулам (3) и (8), \[ a_{mn}=c_{mn}, \] в остальных случаях равенства нет.

Из асимптотической нормальности статистики \[ Т \] , формул (7) и (8) следует, что правило принятия решения для критерия Крамера-Уэлча выглядит так:

• если \[ |T| \le Ф^{-1} \left( 1-\frac{\alpha}{2} \right) \] то гипотеза однородности (равенства) математических ожиданий принимается на уровне значимости \[ \alpha \]
• если же \[ |T| > Ф^{-1} \left( 1-\frac{\alpha}{2} \right) \] то гипотеза однородности (равенства) математических ожиданий отклоняется на уровне значимости \[ \alpha \] .

В эконометрике наиболее часто применяется уровень значимости \[ \alpha=0.05 \] Тогда значение модуля статистики \[ Т \] Крамера-Уэлча надо сравнивать с граничным значением \[ Ф^{-1} \left( 1- \frac{\alpha}{2}\right)=1.96 \] .

Из сказанного выше следует, что применение критерия Крамера-Уэлча не менее обосновано, чем применение критерия Стьюдента. Дополнительное преимущество - не требуется равенства дисперсий \[ D(X)=D(Y) \] . Распределение статистики Т не является распределением Стьюдента, однако и распределение статистики \[ t \] , как показано выше, не является таковым в реальных ситуациях.

Распределение статистики \[ Т \] при объемах выборок \[ т=п=6, 8, 10, 12 \] и различных функциях распределений выборок \[ F(x) \] и \[ G(x) \] изучено нами совместно с Ю.Э. Камнем и Я.Э. Камнем методом статистических испытаний (Монте-Карло). Рассмотрены различные варианты функций распределения \[ F(x) \] и \[ G(x) \] . Результаты показывают, что даже при таких небольших объемах выборок точность аппроксимации предельным стандартным нормальным распределением вполне удовлетворительна. Поэтому представляется целесообразным во всех тех случаях, когда в настоящее время используется критерий Стьюдента, заменить его на критерий Крамера-Уэлча. Конечно, такая замена потребует переделки ряда нормативно-технических и методических документов, исправления учебников и учебных пособий для вузов.

Пример. Пусть объем первой выборки \[ m=120. \bar x=13.7, s_x=5.3 \] Для второй выборки \[ n=541, \bar y=14.1, s_y=8.4 \] Вычислим величину статистики Крамера-Уэлча

\[ T=\frac{\sqrt{mn}(\bar x-\bar y)}{\sqrt{ns_x^2+ms_y^2}}=\frac{\sqrt{120*541}(13.7-14.1)}{\sqrt{541*5.3^2+120*8.4^2}}=\frac{\sqrt{64920}(-0.4)}{\sqrt{541*28.09+120*70.56}}=\frac{254.79*(-0.4)}{\sqrt{15196.69+8467.2}}=\frac{-101.916}{\sqrt{23633.89}}=\frac{-101.916}{153.83}=-0.66 \]

Поскольку полученное значение по абсолютной величине меньше 1,96, то гипотеза однородности математических ожиданий принимается на уровне значимости 0,05.

Непараметрические методы проверки однородности. В большинстве экономических и технико-экономических задач представляет интерес не проверка равенства математических ожиданий или иных характеристик распределения, а обнаружение различия генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки, т.е. проверка гипотезы \[ H_0 \] . Методы проверки гипотезы \[ H_0 \] позволяют обнаружить не только изменение математического ожидания, но и любые иные изменения функции распределения результатов наблюдений при переходе от одной выборки к другой (увеличение разброса, появление асимметрии и т. д.). Как установлено выше, методы, основанные на использовании статистик \[ t \] Стьюдента и Т Крамера-Уэлча, не позволяют проверять гипотезу \[ H_0. \] Априорное предположение о принадлежности функций распределения \[ F(x) \] и \[ G(x) \] к какому-либо определенному параметрическому семейству (например, семействам нормальных, логарифмически нормальных, распределений Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределений и др.), как показано выше, обычно нельзя достаточно надежно обосновать. Поэтому для проверки \[ H_0 \] следует использовать методы, пригодные при любом виде \[ F(x) \] и \[ G(x) \] , т.е. непараметрические методы. (Термин "непараметрический метод" означает, что при использовании этого метода нет необходимости предполагать, что функции распределения результатов наблюдений принадлежат какому-либо определенному параметрическому семейству.)

Для проверки гипотезы \[ H_0 \] разработано много непараметрических методов - критерии Смирнова, типа омега-квадрат (Лемана-Розенблатта), Вилкоксона (Манна-Уитни), Ван-дер-Вардена, Сэвиджа, хи-квадрат и др.. Распределения статистик всех этих критериев при справедливости \[ H_0 \] не зависят от конкретного вида совпадающих функций распределения \[ F(x) G(x) \] . Следовательно, таблицами точных и предельных (при больших объемах выборок) распределений статистик этих критериев и их процентных точек можно пользоваться при любых непрерывных функциях распределения результатов наблюдений.

Каким из непараметрических критериев пользоваться? Как известно [10], для выбора одного из нескольких критериев необходимо сравнить их мощности, определяемые видом альтернативных гипотез. Сравнению мощностей критериев посвящена обширная литература.

Хорошо изучены свойства критериев при альтернативной гипотезе сдвига

\[ H_{1c} : G(x)=F(x-d), d \ne 0. \]

Критерии Вилкоксона, Ван-дер-Вардена и ряд других ориентированы для применения именно в этой ситуации. Если \[ m \] раз измеряют характеристику одного объекта и \[ п \] раз - другого, а функция распределения погрешностей измерения произвольна, но не меняется при переходе от объекта к объекту (это более жесткое требование, чем условие равенства дисперсий), то рассмотрение гипотезы \[ H_{1c} \] оправдано. Однако в большинстве экономических и технико-экономических исследований нет оснований считать, что функции распределения, соответствующие выборкам, различаются только сдвигом.

Какие гипотезы можно проверять с помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона?

Покажем (и это - основной результат настоящего пункта), что двухвыборочный критерий Вилкоксона (в литературе его называют также критерием Манна-Уитни) предназначен для проверки гипотезы

\[ H_0 : P(X < Y) = 1/2, \]

где \[ X \] - случайная величина, распределенная как элементы первой выборки, а \[ Y \] - второй.

В описанной выше вероятностной модели двух независимых выборок без ограничения общности можно считать, что объем первой из них не превосходит объема второй, \[ m \le n \] , в противном случае выборки можно поменять местами. Обычно предполагается, что функции \[ F(x) \] и \[ G(x) \] непрерывны и строго возрастают. Из непрерывности этих функций следует, что с вероятностью 1 все \[ m + n \] результатов наблюдений различны. В реальных эконометрических данных иногда встречаются совпадения, но сам факт их наличия - свидетельство нарушений предпосылок только что описанной базовой математической модели.

Статистика \[ S \] двухвыборочного критерия Вилкоксона определяется следующим образом. Все элементы объединенной выборки \[ X_1, X_2,\dots., X_m, Y_1, Y_2,\dots, Y_n \] упорядочиваются в порядке возрастания. Элементы первой выборки \[ X_1, X_2, \dots, X_m \] занимают в общем вариационном ряду места с номерами \[ R_1, R_2, \dots, R_m \] , другими словами, имеют ранги \[ R_1, R_2,\dots, R_m. \] Тогда статистика Вилкоксона - это сумма рангов элементов первой выборки

\[ S = R_1 + R_2 +\dots + R_m. \]

Статистика \[ U \] Манна-Уитни определяется как число пар \[ (X_i, Y_j) \] таких, что \[ X_i < Y_j, \] среди всех \[ mn \] пар, в которых первый элемент - из первой выборки, а второй - из второй. Как известно [13, с.160],

\[ U = mn + m(m+1)/2 - S. \]

Поскольку \[ S \] и \[ U \] линейно связаны, то часто говорят не о двух критериях - Вилкоксона и Манна-Уитни, а об одном - критерии Вилкоксона (Манна-Уитни).

Критерий Вилкоксона - один из самых известных инструментов непараметрической статистики (наряду со статистиками типа Колмогорова-Смирнова и коэффициентами ранговой корреляции). Свойствам этого критерия и таблицам его критических значений уделяется место во многих монографиях по математической и прикладной статистике.

Однако в литературе имеются и неточные утверждения относительно возможностей критерия Вилкоксона. Так, одни полагают, что с его помощью можно обнаружить любое различие между функциями распределения \[ F(x) \] и \[ G(x) \] . По мнению других, этот критерий нацелен на проверку равенства медиан распределений, соответствующих выборкам. И то, и другое, строго говоря, неверно. Это будет ясно из дальнейшего изложения.

Введем некоторые обозначения. Пусть \[ F^{-1}(t) \] - функция, обратная к функции распределения \[ F(x) \] . Она определена на отрезке \[ [0;1] \] . Положим \[ L(t) = G(F^{-1}(t)) \] . Поскольку \[ F(x) \] непрерывна и строго возрастает, то \[ F^{-1}(t) \] и \[ L(t) \] обладают теми же свойствами. Важную роль в дальнейшем изложении будет играть величина \[ a = P(X< Y) . \] Как нетрудно показать,

\[ a=P(X<Y)=\int_0^1 \td L(t) \]

Введем также параметры

\[ b^2=\int_0^1 L^2(t)dt-(1-a)^2,\\ G^2=\int_0^1t^2dL(t)-a^2 \]

Тогда математические ожидания и дисперсии статистик Вилкоксона и Манна-Уитни согласно [13, с.160] выражаются через введенные величины:

\[ М(U) = mna , М(S) = mn + m(m+1)/2 - М(U) = mn(1- a) + m(m+1)/2,\\ D(S) = D(U) = mn [ (n - 1) b^2 + (m - 1) g^2 + a(1 -a) ] \]

Когда объемы обеих выборок безгранично растут, распределения статистик Вилкоксона и Манна-Уитни являются асимптотически нормальными (см., например, [13, гл.5 и 6]) с параметрами, задаваемыми формулами (1) .

Если выборки полностью однородны, т.е. их функции распределения совпадают, справедлива гипотеза

\[ H_0: F(x) = G(x) \] при всех \[ x \] ,

то \[ L(t) = t \] и \[ a= 1/2 \] . Подставляя в формулы (1), получаем, что

\[ М(S) = m(m+n+1)/2, D(S) = mn(m+n+1)/ 12 \]

Следовательно, распределение нормированной и центрированной статистики Вилкоксона

\[ T = ( S - m(m+n+1)/2) (mn(m+n+1)/ 12)^{-1/2} \]

при росте объемов выборок приближается к стандартному нормальному распределению (с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1).

Из асимптотической нормальности статистики \[ Т \] следует, что правило принятия решения для критерия Вилкоксона выглядит так:

• если \[ |T| \le Ф^{-1} \left(1-\frac{\alpha}{2} \right) \] то гипотеза (2) однородности (тождества) функций распределений принимается на уровне значимости \[ \alpha \]
• если же \[ |T| >Ф^{-1} \left( 1-\frac{\alpha}{2} \] то гипотеза (2) однородности (тождества) функций распределений отклоняется на уровне значимости \[ \alpha \] .

В эконометрике наиболее часто применяется уровень значимости \[ \alpha=0.05 \] Тогда значение модуля статистики Т Вилкоксона надо сравнивать с граничным значением \[ Ф^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)=1.96 \] .

Пример 1. Пусть даны две выборки. Первая содержит \[ m= 12 \] элементов \[ 17; 22; 3; 5; 15; 2; 0; 7; 13; 97; 66; 14 \] . Вторая содержит \[ n=14 \] элементов \[ 47; 30; 2; 15; 1; 21; 25; 7; 44; 29; 33; 11; 6; 15 \] . Проведем проверку однородности функций распределения двух выборок с помощью только что сформулированного правила принятия решений на основе критерия Вилкоксона.

Первым шагом является построение общего вариационного ряда для элементов двух выборок (табл.4.1).