НОУ ИНТУИТ | Математика криптографии и теория шифрования. Лекция 12: Простые числа

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 19.01.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 71 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Тест Миллера-Рабина

Тест Миллера-Рабина определения простого числа есть комбинация тестов Ферма и квадратного корня. Он элегантным способом находит сильное псевдопростое число (простое число с очень высокой вероятностью). В этом тесте мы записываем n–1 как произведение нечетного числа m и степени числа 2.

$n – 1 = m \times 2^{k}$

В тесте Ферма при основании a можно записать так, как это показано ниже.

Идея теста на простоту числа на основе Ферма

$a^{n-1}=a^{m\times2k}=[a^m]^2^k=[a^m]^2$

Другими словами, вместо того чтобы вычислять a^n-1 (mod n) в один шаг, мы можем сделать это в k + 1 шагов. Какое преимущество в таком применении? Преимущество заключается именно в том, что испытание квадратным корнем может быть выполнено на каждом шаге. Если квадратный корень показывает сомнительные результаты, мы останавливаемся и объявляем n составным номером. На каждом шаге мы обеспечиваем, что тест Ферма и испытание квадратным корнем удовлетворено на всех парах смежных шагов, если оно удовлетворительно (если результат равен 1).

Инициализация

Выберите основу и вычислите T = a^m, в который m = (n – 1) / 2^k.

a. Если T равно +1 или –1, объявляют, что n — сильное псевдопростое число, и процесс останавливается. Мы говорим, что n прошел два испытания: тест Ферма и испытание квадратным корнем. Почему? Потому что если T равно $\pm {\text{1}}$ , то T станет 1 на следующем шаге и остается 1 до прохождения теста Ферма. Кроме того, T прошел испытание тестом квадратного корня, потому что T был бы равен 1 на следующем шаге и квадратный корень был бы равен 1 (на следующем шаге) и равен $\pm {\text{1}}$ (на этом шаге).

b. Если T равен другому значению, мы не уверены, является ли n простым числом или составным объектом, значит, процесс будет продолжаться на следующем шаге.

Шаг 1

Возводим T в квадрат.

a. Если результат равен +1, мы определенно знаем, что тест Ферма пройден, потому что T остается 1 для последующих испытаний. Испытание квадратным корнем, однако, не прошло. Поскольку T равно 1 на этом шаге и имело на предыдущем шаге другое значение, чем $\pm {\text{1}}$ (причина, почему мы не остановились на предыдущем шаге), n объявляют составным объектом, и процесс останавливается.

b. Если результат равен (–1), мы знаем, что n в конечном счете пройдет тест Ферма. Мы знаем, что он пройдет испытание квадратным корнем, потому что T равно (–1) в этом шаге и станет 1 на следующем шаге. Мы объявляем n сильным псевдослучайным простым числом и останавливаем процесс.

c. Если T имеет еще какое-либо значение, мы не уверены, имеем ли мы дело с простым числом, и процесс продолжается на следующем шаге.

Шаги 2 до k–1

Этот шаг и все остальные шаги до k–1 такие же, как и шаг 1.

Этот шаг не является необходимым. Если мы достигли его и не приняли решение, он не поможет нам. Если результат этого шага (–1), значит, тест Ферма пройден, но поскольку результат предыдущего шага — не $\pm {\text{1}}$ , испытание квадратное корня не пройдено. После шага k – 1, если процесс не остановлен, мы объявляем, что n — составное.

Тест Миллера-Рабина требует от 0 до k–1.

Алгоритм 12.2 показывает псевдокод для теста Миллера-Рабина.

12.2. Псевдокод для теста Миллера-Рабина

Существует доказательство, что каждый раз, когда для числа проводится тест Миллера-Рабина, вероятность получить результат "не простое число" — 1/4. Если прошло m тестов (с m различными основаниями), вероятность, что тест выдаст не простое число — (1/4) ^m.

Пример 12.25

Проведите тест Миллера-Рабина к числу 561.

Решение

Используя основание 2, получим $561 - 1 = 35 \times 2^4$ , что означает, что m = 35, k = 4 и а = 2

$\tt\parindent0pt Инициализация:\ \ \ T = 2^{35} \mod\ 561 = 263 \mod\ 561 k = 1\ \ \ \ \ \ T = 263^{2} \mod\ 561 = 166 \mod\ 561 k = 2\ \ \ \ \ \ T = 166^{2} \mod\ 561 = 67 \mod\ 561 k = 3\ \ \ \ \ \ T = 67^{2} \mod\ 561 = +1 \mod\ 561 \to \text{ составное}$

Пример 12.26

Мы уже знаем, что 27 — не простое число. Попробуем применить тест Миллера-Рабина.

Решение

Основание равно 2, тогда $27-1 = 13 \times {2^1}$ , что означает m = 13, k = 1 и a = 2. В этом случае k – 1 = 0, и мы должны сделать только шаг инициализации:

T = 2¹³ mod 27 = 11 mod 27. Однако поскольку алгоритм не делает ни одного цикла, вырабатывается решение "составной объект".

Пример 12.27

Мы знаем, что 61 — простое число; давайте посмотрим, что даст тест Миллера-Рабина

Решение

Мы используем основание 2.

$\tt\parindent0pt $61 – 1 = 15 \times 2^{2} \to m = 15 k = 2 a = 2 $ Инициализация:\ \ \ T = 2^{15} \mod\ 61 = 11 \mod\ 61 \ к = 1\ \ \ \ \ \ T = 11^{2} \mod\ 61 = –1 \mod\ 61 \to \text{простое число}$

Обратите внимание, что последний результат — это 60 mod 61, но мы знаем, что 60 = –1 mod 61.

Рекомендованные тесты простоты чисел

Сегодня один из самых популярных тестов простоты чисел — комбинация теории делимости и тест Миллера-Рабина. При этом рекомендуются следующее шаги:

Выбрать нечетное целое число, потому что все четные целые числа (кроме 2) — явно составные объекты.
Сделать некоторые тривиальные испытания теории делимости на некоторых известных простых числах, таких как 3, 5, 7, 11, 13: так, чтобы убедиться, что вы не имеете дело с очевидным составным объектом. Если они не являются делителями при всех этих испытаниях, сделайте следующий шаг. Если выбранное число не прошло хотя бы один из этих тестов, вернитесь на один шаг и выберите другое нечетное число.
Выбрать набор оснований для теста. Большое множество оснований предпочтительно.
Сделать тест Миллера-Рабина на каждом из оснований. Если любой из них не проходит, вернитесь на один шаг и выберите другой нечетный номер. Если тесты прошли для всех оснований, объявите это число как сильное псевдопростое число.

Пример 12.28

Номер 4033 — составной объект ( $37 \times 109$ ). Это подтверждает рекомендованное испытание простоты чисел?

Решение

1. Выполним проверку согласно теории делимости. Проверим сначала числа 2, 3, 5, 7, 11, 17 и 23 – не являются делителями числа 4033.

2. Выполним испытание Миллера-Рабина с основанием 2, тогда $4033-1 = 63 \times {2^6}$ , что означает m = 63 и k = 6.

$\tt\parindent0pt Инициализация: $T \equiv 2^{63} (mod\ 4033) \equiv 3521 (mod\ 4033)$ \ $k = 1$\ \ \ \ \ \ \ \ $T \equiv T^{2} = 3521^{2} (mod\ 4033) = –1 (mod\ 4033) \to \text{Тест прошел}$$

3. Но мы не удовлетворены. Мы продолжаем с другим основанием — 3.

$\tt\parindent0pt Инициализация: \ \ $T \equiv 3^{63}(mod\ 4033) \equiv 3551(mod\ 4033)$ $k = 1\ \ \ \ \ \ T \equiv T^{2} \equiv 3551^{2} (mod\ 4033 \equiv 2443 (mod\ 4033)$ $k = 2\ \ \ \ \ \ T \equiv T^{2} \equiv 2443^{2} (mod\ 4033 \equiv 3442 (mod\ 4033)$ $k = 3\ \ \ \ \ \ T \equiv T^{2} \equiv 3442^{2} (mod\ 4033 \equiv 2443 (mod\ 4033) $ $k = 4\ \ \ \ \ \ T \equiv T^{2} \equiv 2443^{2} (mod\ 4033 \equiv 3442 (mod\ 4033)$ $k = 5\ \ \ \ \ \ T \equiv T^{2} \equiv 3442^{2} (mod\ 4033 \equiv 2443 (mod\ 4033)$ Не соответствует (составное)$

Дальше >>

Инженерия программного обеспечения

Математика криптографии и теория шифрования