Опубликован: 25.07.2006 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет
Лекция 10:

Цепи Маркова

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >

Теорема 10.1. Если в полном ориентированном графе с n вершинами хотя бы две вершины имеют одинаковые степени выхода, то в этом ориентированном графе найдутся 3 такие вершины, что дуги (ребра), соединяющие их, образуют ориентированный цикл.

Задача 2. Турнир между n шахматистами закончился без ничьих. Можно ли пронумеровать всех участников в таком порядке, чтобы оказалось, что каждый выиграл партию у шахматиста, имеющего номер на единицу больше?

Решение. Достаточно выяснить, что всякий полный ориентированный граф с n вершинами имеет простой путь, проходящий через все вершины орграфа. Доказательство: проведем методом математической индукции по числу вершин орграфа.

Для n=2 утверждение верно. Теперь предположим, что в любом полном орграфе D с n вершинами найдется простой путь, проходящий через все вершины графа. Обозначим его p_{n}
=(a_{1},a_{2}),(a_{2},a_{3})\dts (a_{n-1},a_{n}). Добавим теперь произвольную вершину a_{n+1} и ребра (дуги), соединяющие ее со всеми остальными вершинами орграфа D.

Если ребро (дуга), соединяющее a_{n+1} и a_{n}, направлено от a_{n} к a_{n+1}, то пройден путь p_{n} до a_{n+1} (рис. 10.3). Если ребро (дуга) направлено от a_{n+1} к a_n, то рассмотрим последовательность ребер (дуг), соединяющих a_{n+1} с a_{n-1},a_{n-2},\ldots,a_2,a_1. Если все ребра (дуги) направлены от a_{n+1}, то к пути p_n можно добавить ребро a_{n+1}, a_1.

Если они не все выходят из a_{n+1}, то возьмем первое ребро (дугу) этой последовательности, входящее в a_{n+1}. Пусть это будет ребро (дуга) (a_{k},a_{n+1}) (рис. 10.4).

Прервем путь p_{n} в a_{k} и продолжим его по ребрам (дугам) (a_{k},a_{n+1}), (a_{n+1},a_{k+1}), после чего вновь вернемся к прежнему маршруту, то есть искомый путь будет следующим: (a_{1},a_{2})\dts
(a_{k},a_{n+1}), (a_{n+1},a_{k+1}), (a_{k+1},a_{k+2}),\ldots, (a_{n-1},a_{1})

По принципу математической индукции утверждение верно для всякого натурального n.

А коль есть такой путь в графе, следовательно, всех игроков можно будет пронумеровать так, чтобы оказалось, что каждый выиграл партию у шахматиста, имеющего номер на единицу меньше.


Рис. 10.3.

Рис. 10.4.

Полученный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 10.2. Всякий полный орграф с n вершинами имеет простой ориентированный путь, проходящий через все вершины орграфа.

< Лекция 9 || Лекция 10: 1234 || Лекция 11 >
Никита Толышев
Никита Толышев
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Денис Сафронов
Денис Сафронов
Россия
жылдыз насырбекова
жылдыз насырбекова
Киргизия, бишкек