Многомерные системы с потерями

Многомерная B-формула Эрланга

Мы рассматриваем группу n пучков каналов (каналы, слоты), которым предлагают два независимых PCT-I потока нагрузки: и . Предлагаемая нагрузка соответственно

Обозначим состояние системы , где - число вызовов от потока 1, а - число вызовов от потока 2. Выполняются следующие ограничения:

( 10.1)

Диаграмма переходов состояний показана на рис.10.1. Согласно предположению о статистическом равновесии, вероятности состояний могут быть получены решением глобальных уравнений равновесия для каждого узла (уравнения узла), всего уравнения.

Рис. 10.1. Двухмерная диаграмма переходов состояний для системы с потерями с n каналами, которым предлагают два PCT- I потока нагрузки.

Это эквивалентно диаграмме переходов состояний для системы с потерями , где гиперэкспоненциальное распределение дается в (10.7)

Как мы увидим в следующей секции, эта диаграмма соответствует обратимому марковскому процессу, который имеет локальное равновесие и, кроме того, решение имеет форму произведения ( product form ). Мы можем легко показать, что глобальные уравнения равновесия удовлетворяют следующим вероятностям состояния, которые могут быть записаны в форме произведения:

( 10.2)

где и - одномерные усеченные Пуассоновские распределения, Q - нормировочные константы, и выполняют вышеупомянутые ограничения (10.1). Поскольку рассматриваются Пуассоновские потоки вызовов, которые обладают свойством PASTA (Пуассоновское поступление вызовов, наблюдаемое за среднее время), потери по времени, потери по вызовам и потери по нагрузке равны между собой для обоих потоков нагрузки, и они равняются .

Биноминальным разложением или сверткой двух Пуассоновских распределений мы находим следующие объединенные вероятности состояний, где получено нормализацией:

( 10.3)

( 10.4)

Это усеченное Пуассоновское распределение (7.9) с предложенной нагрузкой:

( 10.5)

Мы можем также интерпретировать эту модель как систему Эрланга с потерями с одним Пуассоновским потоком вызовов и гиперраспределенными временами пребывания в системе следующим образом. Полный процесс поступления вызовов - суперпозиция двух Пуассоновских процессов с полной интенсивностью поступления:

( 10.6)

и распределение времени пребывания в системе является гиперраспределенным:

( 10.7)

Мы присваиваем веса эти двум экспоненциальным распределениям согласно относительному числу вызовов в единицу времени. Среднее время обслуживания и распределение времени пребывания в системе является гиперраспределенным:

( 10.8)

и соответствует предложенной нагрузке.

Таким образом, мы показали, что система с потерями Эрланга справедлива для гиперраспределенных времен пребывания в системе.

Можно обобщить вышеупомянутую модель на потоков нагрузки:

( 10.9)

Данная модель является общей многомерной B-формулой Эрланга. Обобщая (10.3), мы замечаем, что глобальные вероятности состояния могут быть вычислены следующей рекурсией, где q(x) обозначает вероятность относительного состояния, и - абсолютные вероятности состояния:

( 10.10)

( 10.11)

Если использовать рекурсию с нормированием (секция 7.4), то мы получаем рекурсивную формулу B- Эрланга. Формула (10.10) подобна уравнениям равновесия для Пуассоновского случая, когда:

Потери по времени - , и в соответствии со свойствами потока PASTA, потери по времени также равны потерям по вызовам и по нагрузке. Числовые оценки мы рассмотрим в секции 10.4. Многомерные системы были сначала упомянуты Эрлангом и более тщательно рассмотрены Иенсоном в Erlangbook (Jensen, 1948 ).