Уравнения и неравенства

Плоскость - поверхность (бесконечная в любом направлении), в которой каждая прямая, имеющая две общие точки, целиком лежит на этой поверхности. Из школьной стереометрии известна одна из основных аксиом (стереометрии): существует хотя бы одна прямая и одна плоскость, а каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек, причем прямая, проходящая через две различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.

Пусть P - некоторая плоскость, определенная в координатном пространстве.

Нормалью к плоскости P называется ненулевой вектор, перпендикулярный к P (нулевой вектор - неинтересен, тривиален, так как он всегда перпендикулярен любому вектору - почему?). Любая плоскость в пространстве однозначно ориентирована, если задана точка и какой-нибудь вектор нормали n=(A;B;C) к ней (рис. 6.6).

Рис. 6.6. Вектор нормали к плоскости ориентирует плоскость

Нужно найти связь между координатами текущей точки M(x; y; z) на P. Так как , то

Теорема Любая плоскость в пространстве определяется уравнением вида: Ax+By+Cz+D=0. Обратно, всякое уравнение такого вида, где хотя бы один из постоянных коэффициентов A, B, C не равен нулю, задает некоторую плоскость в пространстве.

Вместо доказательства этой теоремы рассмотрим полезный (и работающий на понимание теоремы) пример.

Пример.

Возьмем возможные частные случаи этого уравнения:

1. если D=0, Ax+By+Cz=0, то плоскость P проходит через точку O(0;0;0).
2. если A=0, By+Cz+D=0, то плоскость P параллельна оси Ox ( .
3. если B=0, Ax+Cz+D=0, то плоскость P параллельна оси Oy ( .
4. если C=0, Ax+By+D=0, то плоскость P параллельна оси Oz ( .
5. если A=D=0, By+Cz=0, то плоскость P проходит через ось Ox.
6. если B=D=0, Ax+Cz=0, то плоскость P проходит через ось Oy.
7. если C=D=0, Ax+By=0, то плоскость P проходит через ось Oz.
8. если A=B=0, Cz+D=0, то плоскость P параллельна плоскости xOy.
9. если B=C=0, Ax+D=0, то плоскость P параллельна плоскости yOz.
10. если A=C=0, By+D=0, то плоскость P параллельна плоскости xOz.
11. если A=B=D=0, Cz=0 (z=0), то плоскость P совпадает с плоскостью xOy.
12. если A=C=D=0, By=0 (y=0), то плоскость P совпадает с плоскостью xOz.
13. если B=C=D=0, Ax=0 (x=0), то плоскость P совпадает с плоскостью yOz.

Сделайте графические иллюстрации (рисунки) к каждому случаю самостоятельно.

Пусть заданы плоскости P₁ и P₂ в пространстве своими общими уравнениями P₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, P₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Эти плоскости будут коллинеарны (параллельны), если коллинеарны будут их нормали, и перпендикулярны (ортогональны), если будут ортогональны их нормали. Из условий коллинеарности и ортогональности векторов получаем соответствующие условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей: , A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ =0.

Направляющим вектором для прямой (или направляющим вектором прямой) называется любой вектор, коллинеарный данной прямой. Часто в качестве направляющего вектора берется единичный вектор (орт) данного направления.

Любая прямая определяется однозначно заданием какой-то точки и направляющего вектора S=(m;n;p) прямой . Найдем уравнение (рис. 6.7). Пусть точка M(x;y;z) - текущая точка. Тогда M_0M =(x-x₀; y-y₀; z-z₀). Так как вектор M_0M коллинеарен вектору S, то из условия коллинеарности векторов находим

Рис. 6.7. Направляющий вектор прямой

Это уравнение определяет и называется каноническим уравнением прямой. Пусть точки M₁(x₁;y₁;z₁), . Тогда за направляющий вектор можно взять M₀M =(x₂-x₁; y₂-y₁; z₂-z₁) =S.

Из предыдущего уравнения получим (полагая ) соотношение вида

Это уравнение определяет прямую, проходящую через две точки M₁, M₂, и называется каноническим уравнением прямой в пространстве.

Пример. Если даны две точки A(1;3;2) и B(3,5,1), то в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через эти точки, можно взять вектор AB(2; 2; -1). Уравнение прямой имеет вид