Координаты и векторы

Численные величины подразделяются на скалярные (для которых важна лишь числовая характеристика) и векторные (для которых важна и ориентация).

Пример. Скорость автомобиля в некоторый определенный момент времени, количество студентов, словарный запас - скалярные величины. Скорость движения автомобиля (от начала до конца движения) - векторная величина.

Геометрическим вектором ( вектором ) называется направленный отрезок либо отрезок с указанием его ориентации на плоскости (плоскостной или двумерный вектор) или же в пространстве (пространственный вектор или трехмерный вектор). Он определяется парой точек - началом A и концом B и обозначается обычно как AB, a. Длина отрезка называется модулем вектора и обозначается |AB|, |a|. Это количественная характеристика вектора.

Если начало и конец вектора совпадают, то есть вектор вырождается в точку, то он называется нулевым .

Векторы a и b коллинеарны ( параллельны ), если они лежат на одной прямой или же на параллельных прямых, компланарны, если они лежат в одной плоскости или параллельно одной плоскости, и равны, если модули и направления этих векторов совпадают.

Угол между векторами a и b обозначается как .

Радиус-вектор точки M(x;y) на плоскости Oxy или точки M(x;y;z) в пространстве Oxyz - это вектор OM .

Пусть AB - произвольный вектор, A₁, B₁ - проекции точек A и B на некоторую ось L. Вектор A₁B₁ называется вектор-проекцией вектора AB .

Число |A₁B₁| называется проекцией AB на ось L (рис. 3.5). и обозначается . Как легко заключить из чертежа, справедливы равенства |A₁B₁| = Пр_LAB, |B₁A₁| = Пр_LAB=|A₁B₁|.

Рис. 3.5. Вектор и его проецирование на ось L

Спроецируем радиус-вектор OM на координатные оси Ox, Oy, Oz: x=Пр_x OM, y=Пр_y OM, z=Пр_z OM. Вектор OM с помощью этих проекций задается тройкой чисел OM={x, y, z}.

Пример. Если рассмотреть вектор a=(1; 2; -3), то его проекции на оси координат x, y, z будут равны, соответственно, 1, 2, -3.

Вектор единичной длины и направления, совпадающего с направлением координатной оси, называется единичным вектором или ортом этой оси.

Пусть i, j, k - орты осей Ox, Oy, Oz, то есть радиус-векторы точек M_x(1,0,0), M_y(0,1,0), M_z(0,0,1). Тогда |i| = |j| =|k| =1.

Теорема. Любой вектор a может быть разложен по ортам осей (рис. 3.6)., причем справедливо равенство .

Последнее равенство называется разложением вектора по координатным осям, а числа x, y, z называют координатами вектора a.

Рис. 3.6. Разложение вектора по координатным осям

Перейдем теперь от геометрического вектора к алгебраическому (математическому) вектору в его общей форме.

Вектором ( n -мерным) будем называть упорядоченный набор из n действительных чисел.Упорядоченность понимается в смысле указания порядка следования чисел друг за другом, то есть эти числа перенумерованы.

Записывается такой вектор в виде x=(x₁,x₂,...,x_n) или x=(x₁,...,x_n). Число x_i, i=1,2,...,n называется i -ой координатой вектора x , а число n - размерностью вектора.

Пример. Вектор a=(2) - одномерный вектор. Геометрически ему соответствует вектор (радиус-вектор) длины 2 и ориентированный в сторону положительного направления на числовой прямой. Вектор b=(-2) направлен в противоположную сторону и имеет длину 2. Вектор c=(7, -4) - двумерный вектор, геометрически ему соответствует вектор или радиус-вектор на плоскости с проекцией длины 7 на положительную полуось оси Ox и проекцией длины 4 на отрицательную полуось оси Oy. Вектор d=(-1, 2, 8) - трехмерный вектор, геометрически ему соответствует вектор или радиус-вектор в пространстве, x=(1, 3, -4, 6, 0) - пятимерный вектор, "геометрически" можно домыслить себе еще две координатные оси и тогда ему будет соответствовать радиус-вектор в пространстве пяти измерений.

Если два вектора, заданные в координатной форме, равны, то равны соответствующие координаты этих векторов, то есть справедливо x=(x₁,...,x_n) y=(y₁,...,y_n) x_i = y_i i = 1, 2,..., n.

Вектор (0, 0, ..., 0) называется нулевым , обозначается 0, а векторы (1,0,...,0), (0,1,...,0), ..., (0,0,...,1) - единичными векторами, ортами .

Суммой двух векторов a, b называется вектор c, c=a+b, начало которого совпадает с началом a, конец - с концом b, при условии, что начало b приложено к концу a .

Разностью двух векторов a и b называется вектор c, для которого c+b =a . Для его построения необходимо совместить концы уменьшаемого вектора a и вычитаемого b ; тогда начало c совпадает с началом a, а конец вектора c - с началом b (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Сумма и разность векторов

Произведением вектора a на скаляр называется вектор , который коллинеарен вектору a, направлен как при и в противоположную сторону при и имеет длину, равную .

Все введенные операции справедливы для любых n-мерных векторов.