НОУ ИНТУИТ | MATHCAD 14: Основные сервисы и технологии. Лекция 3: Графика

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.04.2013 | Уровень: для всех | Доступ: свободно | ВУЗ: Уральский государственный экономический университет

|

Вам нравится? Нравится 80 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

3.2.3. Вычисление длины кривой

В декартовых координатах

Если кривая задана уравнением $y=f(x),\ a < x < b$ , то длина кривой вычисляется

$L=\int_a^b{\sqrt{1+(\frac{d}{dx}f(x))^2}}dx$

( 3.1)

Если кривая задана параметрически, $x=x(t),\ y=y(t)$ на интервале b < t < a, длина кривой L вычисляется

$L1:=\int_a^b{\sqrt{(\frac{d}{dt}x(t))^2+(\frac{d}{dt}y(t))^2}dt$

( 3.2)

В полярных координатах

$X=r(\varphi)cos(\varphi)$ , $y=r(\varphi)sin \varphi$ . Переменные x и y параметрические функции от $\varphi$ . Тогда длина кривой в полярных координатах имеет вид:

$\int_\alpha^\beta{\sqrt{(\frac{d}{d\phi}x(\phi))^2+(\frac{d}{d\phi}y(\phi))^2}d\phi =\int_\alpha^\beta{\sqrt{(\frac{d}{d\phi}r(\phi)\cos{(\phi)}-r(\phi)\sin{(\phi)})^2+(\frac{d}{d\phi}r(\phi)\sin{(\phi)}+r(\phi)\cos{(\phi)})^2}}d\phi$

$\int_\alpha^\beta{\sqrt{r(\phi)^2+(\frac{d}{d\phi}r(\phi))^2}d\phi$

( 3.3)

Пример 3.7

Вычислить длину кривой, заданной уравнением $Y(x):=\mid x^2-\mid x\mid-2\mid$ .

На Рис.3.13 показано вычисление длин участков кривой и всей кривой для x [-4;4]. Точки пересечения определяются с помощью трассировки. Длина кривой вычисляется по формуле (3.1.)

Y(x):=|x^2-|x|-2|

Рис. 3.17. Листинг для примера 3.7

$L1:=\int\limits_{-4}^{-2} \sqrt{1+{(\frac{d}{dx}Y(x))^2}}dx=10.209$

$L1:=\int\limits_0^2 \sqrt{1+{(\frac{d}{dx}Y(x))^2}}dx=3.4$

L:=L1+L2=13.609

Пример 3.8

Построить график функции $y(\varphi)$ , заданной в виде:

$r(\phi):=\sqrt{5\cos{(3\phi)}}$ , если $5\cos{(3\phi)}\ge0$

$y(\phi):=r(\phi)$ , если $5\cos{(3\phi)}\le0$

Вычислить длину кривой для $\varphi [0, 2 \pi]$ .

Функцию $y(\varphi)$ вводим, используя условную функцию. График строится в полярных координатах (Рис.3.18). В таблицах выведены значения аргумента – угла и функции. Длина кривой рассчитана по формуле (3.3).

$r(\phi):=\sqrt{5\cos{(3\phi)}}$ , $\phi=0,0.1,...,2\pi$

$y(\phi):=if(5\cos{(3\phi)}\ge0,r(\phi),0.5)$

$\phi=\begin{array}{|c|}\hline 0 \\ \hline 0.1 \\ \hline 0.2 \\ \hline 0.3 \\ \hline 0.4 \\ \hline 0.5\\ \hline 0.6 \\ \hline 0.7 \\ \hline 0.8 \\ \hline 0.9 \\ \hline 1 \\ \hline 1.1 \\ \hline 1.2\\ \hline 1.3 \\ \hline 1.4 \\ \hline ... \\ \hline \end{array}$

$y(\phi)=\begin{array}{|c|}\hline 2.236 \\ \hline 2.186 \\ \hline 2.031 \\ \hline 1.763 \\ \hline 1.346 \\ \hline 0.595\\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5\\ \hline 0.5 \\ \hline 0.5 \\ \hline ... \\ \hline \end{array}$

Рис. 3.18. Листинг для примера 3.8

$L:=\int\limits_0^{2\pi} \sqrt{y(\phi)^2+{(\frac{d}{d\phi}y(\phi))^2}}d\phi=16.108$

Дальше >>

MATHCAD 14: Основные сервисы и технологии