НОУ ИНТУИТ | Структуры данных и модели вычислений. Лекция 10: Поисковые деревья

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Упражнения

Предположим, что корень красно-черного дерева красный. Если мы покрасим его в черный цвет, останется ли дерево красно-черным?
Покажите, что самый длинный путь вниз от вершины к листу не более чем вдвое длиннее самого короткого такого пути.
Какое наибольшее и наименьшее количество внутренних узлов может быть в красно-черном дереве черной высоты

Вращения — это манипуляции с красно-черными деревьями с целью восстановления RB-свойств в случае их нарушения. Их используют при реализации операций ${\rm Insert}$ и ${\rm Delete}$ . Вращение представляет собой локальную операцию, при которой меняется несколько указателей, но свойство упорядоченности сохраняется.

На рис. 10.1 показаны два взаимно обратных вращения: левое и правое.

Рис. 10.1.

Левое вращение возможно в любом узле , правый ребенок которого (назовем его ) не является листом ( ${\rm nil}$ ). После вращения оказывается корнем поддерева, — левым ребенком узла , а бывший левый ребенок — правым ребенком узла .

Упражнения

Покажите, что левое и правое вращения можно осуществить за время .
Напишите процедуры ${\rm LeftRotate}(T, x)$ и ${\rm RightRotate}(T, x)$ , реализующие левое и правое вращение в дереве относительно узла .
Пусть , и — произвольные узлы в поддеревьях $\al$ , $\beta$ и $\gamma$ на рис. 10.1 (справа). Как изменится глубина , и при выполнении левого вращения?
Покажите, что произвольное двоичное дерево поиска с узлами может быть преобразовано в любое другое дерево с тем же числом узлов (и теми же ключами) с помощью вращений. (Указание: сначала покажите, что правых вращений достаточно, чтобы преобразовать любое дерево в идущую вправо цепочку.)
Напишите процедуры Insert ( T, x ) и Delete ( T, x ), которые добавляют и удаляют элемент x из дерева T за время .
Разработайте алгоритм объединения двух красно-черных деревьев в одно красно-черное дерево за время .

АВЛ-деревья

АВЛ-балансировка по определению требует, чтобы для каждого узла высота его правого поддерева отличалась от высоты левого не более чем на единицу.

Пусть n_k — минимальное число узлов в АВЛ-дереве высоты . Тогда n_0 = 1 , n_1 = 2 , n_2 =
4 , $n_k = n_{k-1} + n_{k-2} + 1$ при $k \ge 2$ .

Теорема. Для любого $k \ge 3$ выполняется неравенство $n_k \ge \al^{k + 1}$ , где $\al = (1+\sqrt{5})/2$ — положительный корень уравнения x^2 - x - 1 .

Доказательство. Непосредственно проверяется базис индукции ${n_3 \ge \al^4}$ , $n_4 \ge \al^5$ . Предположим теперь, что при k =
l выполняется неравенство $n_k \ge \al^{k+1}$ , и докажем его при k = l + 1 . Действительно, $n_{l+1} = n_l + n_{l-1} + 1 > \al^{l+ 1} + \al^{l} + 1 > \al^{l+2}$ . Докажем последнее в этой цепочке неравенство.

Пусть $\al^{l+1} + \al^l + 1 \le \al^{l+2}$ , тогда $\al^{l+2} - \al^{l+1} - \al^l - 1 \ge 0$ и, следовательно, $\al^{l}(\al^2 - \al - 1) - 1 \ge 0$ . Получили противоречие $(-1 \ge 0)$ .

Следствие. Для любого АВЛ-дерева высоты с узлами выполняется соотношение $k + 1 < \log_\al n = \log_\al 2 \log_2 n \approx 1{,}44\cdot \log_2 n$ , что обеспечивает "логарифмическую трудоемкость" выполнения основных операций с АВЛ-деревом.

Идея балансировки двоичных деревьев поиска принадлежит\linebreak Г.М.Адельсону-Вельскому и Е.М.Ландису, предложившим в 1962 г. класс сбалансированных деревьев, называемых с тех пор АВЛ-деревьями. Баланс поддерживается с помощью процедуры вращения. Для его восстановления в дереве с узлами после добавления или удаления узла может потребоваться $\Theta(\log n)$ вращений.

Еще один класс деревьев поиска, называемых - -деревьями, был предложен Дж. Хопкрофтом в 1970 г. Здесь баланс поддерживается за счет изменения степеней узлов. Обобщение - -деревьев предложили Д.Байер и Е.Мак-Крейт. Их деревья называются Б-деревьями, которые мы рассмотрим в следующем разделе.

Красно-черные деревья предложил Д.Байер, назвав их симметричными двоичными Б-деревьями. Л.Гибас подробно изучил их свойства и предложил использовать для наглядности красный и черный цвета Посмотрите [7].

Из многих других вариаций на тему сбалансированных деревьев наиболее интересны расширяющиеся деревья, которые придумали Д.Слеатор и Р.Тарьян. Эти деревья являются саморегулирующимися. Хорошее описание расширяющихся деревьев дал Тарьян. Расширяющиеся деревья поддерживают баланс без использования дополнительных полей (типа цвета). Вместо этого расширяющие операции, включающие вращения, выполняются при каждом обращении к дереву. Учетная стоимость в расчете на одну операцию с деревом для расширяющихся деревьев составляет $O(\log n)$ .