НОУ ИНТУИТ | Структуры данных и модели вычислений. Лекция 3: Разделенные множества

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.09.2006 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Представление разделенных множеств с использованием рангов вершин и сжатия путей

Предыдущий способ реализации разделенных множеств можно еще улучшить за счет усовершенствования реализации операции НАЙТИ,( x{,}y ). Она теперь будет выполняться в два прохода. При первом проходе находится корень того дерева, которому принадлежит . При втором проходе из в все встреченные узлы делаются непосредственными потомками узла . Этот прием, как мы увидим ниже, намного уменьшает время выполнения последующих операций НАЙТИ.

Реализация операций. Рассматриваемая реализация не требует новых полей данных по сравнению с предыдущим случаем. Как и прежде, для каждого узла будем хранить указатель p[i] на его родителя и ранг r[i] , который теперь не обязательно будет равен высоте дерева с корнем . Он будет равен этой высоте, если не использовать операцию НАЙТИ.

Операция СОЗДАТЬ ( ) выполняется с помощью операторов

$\formula{ \t begin p[x]:= x;\ r[x] := 0\ \t end; }$

В качестве родителя узла берется тот же самый , а его рангом считаем . Таким образом, время выполнения операции есть константа.

Операция ОБЪЕДИНИТЬ ( x, y ) выполняется как и прежде, разница лишь в том, что вместо массива используется массив . Время выполнения операции — константа.

$\formula{ \t{procedure ОБЪЕДИНИТЬ} (x, y);\\ \tbegin\\ \mbox{}\q if\ (r[x] < r[y])\ then\ p[x] := y\ \t else\ \t if (r[x] > r[y])\ \t then\ p[y] := x\\ \mbox{}\q\t else \{p[x] := y;\ r[y] := r[y] + 1\} \\ \t end; }$

Операция НАЙТИ (x,
y) , как уже говорилось, выполняется в два прохода. При первом проходе мы идем от узла к его родителю, потом к родителю его родителя и так далее, пока не достигнем корня у дерева, содержащего узел . При втором проходе из в все встреченные на этом пути узлы делаются непосредственными потомками узла . Будем называть это "сжатием путей". Очевидно, как и раньше, время выполнения одной такой операции есть $O(\log n)$ . Но ниже будет доказано, что время выполнения таких операций на самом деле меньше, чем $O(m \cdot \log n)$ . Заметим, что при выполнении этой операции ранги узлов не изменяются.

$\formula{ \t{procedure НАЙТИ}\ (x,y);\\ \t begin \\ \mbox{}\q z:= x;\ \t while\ (p[x] \ne x)\ \t do\ x:= p[x];\\ \mbox{}\q y:= x;\ \t while\ (p[z] \ne z)\ \t do\ \{z1:= z;\ z:= p[z];\ p[z1]:= y\} \\ \t end; }$

Анализ трудоемкости

Для анализа трудоемкости выполнения операций нам потребуются две функции. Одна из них, b(n) , является суперэкспонентой и определяется следующим образом:

$\eq*{ b(0) = 0,\q b(n) = 2^{b(n-1)}\q \t{при } n > 0. }$

Вторая — суперлогарифм $\log^\ast n$ , по основанию 2, определяемая соотношением

$\eq*{ \log^\ast n = \max\{k: b(k) \le n\}. }$

Суперлогарифм является в некотором смысле обратной функцией к суперэкспоненте, $\log^\ast (b(n)) = n$ . Значения функций $\log^\ast n$ и b(n) при нескольких значениях аргументов приведены в следующих таблицах:


							$2^{65536}$

$\dots$

$\dots$

$2^{65536}-1$

$\log^\ast n$

$\dots$

Ребро (x, p(x)) при текущем состоянии коллекции назовем корневым, если p(x) — корень и p(x) = x (петля); назовем его прикорневым, если p(x) — корень и $p(x) \ne x$ , в противном случае — внутренним.

Отметим следующие свойства коллекции на множестве из элементов. Прикорневое ребро может превратиться во внутреннее, а корневое — в прикорневое только при выполнении операции ОБЪЕДИНИТЬ.

Внутреннее ребро (x, y) при первом же выполнении операции НАЙТИ, "проходящей через него", исчезает, но вместо него появляется прикорневое ребро (x, y') , при этом r(y') > r(y) , следовательно, внутреннее ребро "участвует в поиске" не более одного раза.

Если при выполнении очередной операции ОБЪЕДИНИТЬ (x,y) узел становится родителем узла , то после ее выполнения справедливо неравенство r(y) > r(x) .

При выполнении операции НАЙТИ ранги узлов не изменяются, но узлы могут менять своих родителей, то есть меняется структура леса.

Если перед выполнением операции НАЙТИ узел был родителем узла , а после выполнения этой операции родителем узла стал узел $x' \ne x$ , то выполняется неравенство r(x) <
r(x') . Следовательно, даже после изменения леса в результате выполнения операции НАЙТИ ранги вдоль любого пути от листа к корню будут строго возрастать.