Комбинаторика и числовые системы

Задачи

1. Докажите методом математической индукции формулу суммы членов арифметической прогрессии. Указание: формула – .

2. Записать для общего случая и с помощью знаков суммы и произведения неравенства:

   

   Указание: найти индуктивно формулу

   
3. Вычислите наиболее эффективно дробь (7!)/(5!). Указание: представить числитель через знаменатель.

4. Решить рекуррентное уравнение:

   

   Указание: найти х₃, затем х₄ и получить соответствующую формулу для x_n.

5. Найдите формулу общего члена последовательности, удовлетворяющего рекуррентному соотношению:

   

   Указание: найти х₂, затем х₃ и т.д.
6. Имеется аудиторская фирма из 10 сотрудников. Сколько можно сформировать различных аудиторских групп фирмы по 5 человек? Сколько можно сформировать аудиторских групп численностью от 1 до 10 человек? Какие группы еще можно формировать и как находить их количество? Указание: использовать формулы для перестановок, подстановок и сочетаний.
7. Вычислить по биному Ньютона 1,15. Как можно использовать формулу бинома Ньютона для приближенных вычислений? Указание: представить 1,1 как 1+0,1 и затем разложить по формуле бинома Ньютона.

8. Вычислить наиболее эффективно суммы:

   • ;
   • ;
   • .

   Указание: а) представить 2k+1=k+k+1 и затем осуществить почленное деление; б) сгруппировать попарно все последовательные слагаемые и рассмотреть отдельно эти разности; в) сгруппировать.
9. Вычислите числа Ферма и Мерсенна при n=4. Указание: выписать таблицу этих чисел и проанализировать.
10. Постройте треугольник Паскаля при n=12. Указание: выписать числа, отражающие эту "треугольную таблицу".

Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

1. "Простая" и математическая индукция.
2. Рекурсия, ее приложения в социально-гуманитарных областях. Примеры.
3. Комбинаторика, ее различные приложения в социально-гуманитарных областях. Примеры.
4. Теоремы суммирования и перемножения.
5. Роль формул сокращения записей в математике и приложениях. Примеры.
6. Мировоззренческая роль математики древних и средних веков.
7. Красота математических формул. Примеры.
8. Бином Ньютона, его приложения. Примеры.
9. Цифровые системы. Примеры.
10. Арифметика (алгебра чисел).