Вычисление оптимальных стратегий в бесконечных играх

Задача

Распределение атакующих единиц между двумя объектами ( Дрешер М. Стратегические игры. М., "Советское радио" ,1964.).

Предположим, что планируется атака двух населенных пунктов и , имеющих соответственно важности (ценности) и . Пусть противники, один из которых атакует (игрок I), а второй обороняется (игрок II), имеют по боевых единиц и пусть достаточно велико.

Эти единицы могут быть распределены следующим образом. Игрок I может выделить единиц для атаки объекта и единиц для атаки объекта . В свою очередь игрок II может выделить единиц для обороны объекта и единиц для обороны объекта . При этом будем считать, что одна единица игрока II поражает только одну единицу игрока I.

Допустим, что критерий эффективности игрока I пропорционален числу атакующих единиц, достигших объекта, и ценности объекта.

Обозначим

( 10.18)

Тогда чистыми стратегиями игроков будут числа из интервала вида (10.18.) Следовательно, необходимо решать матричную игру больших размеров. Однако, если N достаточно велико, можно полагать, что игрок I выбирает любое , а игрок II — любое .

Таким образом, первоначальная конфликтная ситуация хорошо моделируется бесконечной игрой на единичном квадрате с функцией выигрыша

( 10.19)

Путем построения графиков функции для фиксированных легко убедиться, что эта функция выпукла по (рис. 10.6).

Рис. 10.6.

Следовательно,

Из рассмотрения функции для различных фиксированных значений

можно убедиться, что если

, то

,

а если , то

.

Отсюда

.

Итак,

( 10.20)

Из рассмотрения функции

видно, что она принимает минимальное значение при , которое удовлетворяет уравнению

( 10.21)

Из уравнения (10.21.) находим

.

Тогда на основании (10.20.)

.

Следовательно, с учетом (10.18.) оптимальная стратегия игрока II состоит в выделении единиц для обороны объекта и единиц для обороны объекта .

Для определения оптимальной стратегии игрока I воспользуемся теоремой 1.

Находим

Составляем уравнение

,

то есть, если x\ge y, то

( 10.22)

если , то

( 10.23)

Уравнение (10.22.) имеет решение , а уравнение (10.23.) имеет решение .

Так как

и

,

то на основании теоремы(10.1.) игрок I имеет оптимальную стратегию вида

.

Для определения составляем следующее уравнение:

( 10.24)

Уравнение (10.24.) имеет решение:

.

Таким образом, оптимальная стратегия игрока I заключается в том, чтобы нанести удар всеми силами по объекту или , руководствуясь случайным выбором, то есть выбирая объект с вероятностью и с вероятностью .

Итак, на основании решения рассмотренной игры получены рекомендации, согласно которым обороняющаяся сторона может свои силы распределить заранее вполне определенным образом – назначить часть сил для обороны объекта и часть для обороны объекта .

Нападающая сторона должна случайным образом сосредоточить все силы для атаки объекта или соответственно их важности.

Например, если объект в два раза важнее объекта , то объект должны оборонять всех имеющихся сил. В свою очередь, нападающая сторона должна атаковать этот объект всеми силами с вероятностью .