математика (личная):

Введение в теорию вероятностей
[+]
Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет
Лекция 7:

Основные семейства распределений
A
|
версия для печати
< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >
Аннотация: Основные дискретные и абсолютно непрерывные распределения: вырожденное, Бернулли, биномиальное, геометрическое, Пуассона, гипергеометрическое, равномерное, показательное, нормальное, гамма, Коши, Парето
Ключевые слова: случайная величина, значение, функция, Распределение Бернулли, таблица, биномиальное распределение, Распределение Пуассона, вероятность, площадь, координаты, гауссовское распределение, интеграл, нормальное распределение, первообразная, функция Эйлера, распределение Коши, прямой, класс, связь, верхняя граница, вычисление

Примеры дискретных распределений

Вырожденное распределение. Говорят, что случайная величина \xi имеет вырожденное распределение в точке c\in\mathbb R, и пишут: \xi{\,\sim\,} \mathrm I_c, если \xi принимает единственное значение c с вероятностью 1, т.е. \Prob(\xi=c)=1. Функция распределения \xi имеет вид

F_\xi(x)=\Prob(\xi&<x)=\Prob(c&<x)=\begin{cases} 0, & \text{если } x\le c, \cr 1, & \text{если } x>c. \end{cases}

Распределение Бернулли. Говорят, что случайная величина \xi имеет распределение Бернулли с параметром p, и пишут: \xi{\,\sim\,} {\mathrm B}_p, если \xi принимает значения 1 и 0 с вероятностями p и 1-p соответственно. Случайная величина \xi с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха p: ни одного успеха или один успех. Таблица распределения \xi имеет вид:

\begin{tabular}{l|c|c} $\xi$ & 0 & 1 \cr \hline $\Prob\vphantom{b^b}$ & $1-p$ &$p$ \end{tabular}\,.

Функция распределения случайной величины \xi такова:

F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\begin{cases} 0, & \text{если } x\le 0, \cr 1-p, & \text{если } 0<x\le 1, \cr 1, & \text{если } x>1. \end{cases}

Биномиальное распределение. Говорят, что случайная величина \xi имеет биномиальное распределение с параметрами n\in \mathbb N и p\in(0,\,1), и пишут: \xi{\,\sim\,} {\mathrm B}_{n,p}, если \xi принимает значения k=0,\,1,\,\dots,\,n с вероятностями \Prob(\xi=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}. Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения \xi имеет вид

\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c} $\xi$ & 0 & 1 & \ldots & $k$ & \ldots & $n$ \\ \hline $\Prob\vphantom{\int^b}$ & $(1-p)^n$ & $np(1-p)^{n-1}$ & \ldots & $C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ & \ldots & $p^n$ \end{tabular}\,.
Например, количество выпавших шестерок при двадцати подбрасываниях правильной игральной кости имеет биномиальное распределение {\mathrm B}_{20, \frac16}. Распределение Бернулли совпадает с распределением {\mathrm B}_{1, p}.

Геометрическое распределение. Говорят, что случайная величина \tau имеет геометрическое распределение с параметром p\in(0,\,1), и пишут \tau \sim {\mathrm G}_p, если \tau принимает значения k=1,\,2,\,3,\,\dots с вероятностями {\Prob(\tau=k)}=p (1-p)^{k-1}. Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения \tau имеет вид

\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c} $\tau$ & 1 & 2 & \ldots & $k$ & \ldots \\ \hline $\Prob\vphantom{\int^b}$ & $p$ & $p(1-p)$ & \ldots & $p(1-p)^{k-1}$ & \ldots \end{tabular}\,.

Распределение Пуассона. Говорят, что случайная величина \xi имеет распределение Пуассона с параметром \lambda>0, и пишут: \xi{\,\sim\,} \mathrm \Pi_{\lambda}, если \xi принимает значения k=0,\,1,\,2,\,\dots с вероятностями \Prob(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}. Таблицу распределения \xi читатель может нарисовать самостоятельно.

Распределение Пуассона возникло в теореме Пуассона как предельное распределение для числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли, когда число испытаний n увеличивается, а вероятность успеха уменьшается обратно пропорционально n. Поэтому распределение Пуассона называют иначе распределением числа редких событий.

Гипергеометрическое распределение. Говорят, что случайная величина \xi имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, N и K, где K \le N, n \le N, если \xi принимает целые значения k такие, что {0\le k\le K}, 0\le n-k\le N-K, с вероятностями \Prob(\xi=k)={C_K^k C_{N-K}^{n-k}}\,/\,{C_N^n}. Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди n шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей K белых шаров и N-K не белых.

Упражнение. Построить графики функций распределения для вырожденного распределения, распределений Бернулли и Пуассона, биномиального и геометрического распределений.

Дальше >>
< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >

Вопросы и ответы

вопросов: 4
Виктория Монахова
Виктория Монахова
ответить
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.

ответить

Студенты

всего: 1
bl bl
bl bl
Украина, kyiv
предложить дружбу

( ! ) Warning: include_once(./includes/unicode.entities.inc) [<a href='function.include-once'>function.include-once</a>]: failed to open stream: No such file or directory in /.2/var_www_new.intuit.ru/htdocs/includes/unicode.inc on line 340
Call Stack
#TimeMemoryFunctionLocation
13.119891981720watchdog( )../bootstrap.inc:0
23.120191984184module_invoke( )../bootstrap.inc:967
33.120191986040call_user_func_array ( )../module.inc:462
43.120191986376devel_watchdog( )../module.inc:462
53.120291987224decode_entities( )../devel.module:382
63.120291989144drupal_error_handler( )../devel.module:340
73.120391992752watchdog( )../common.inc:663
83.120391994816module_invoke( )../bootstrap.inc:967
93.120391996672call_user_func_array ( )../module.inc:462
103.120391997008devel_watchdog( )../module.inc:462
113.120391997704decode_entities( )../devel.module:382
( ! ) Warning: include_once() [<a href='function.include'>function.include</a>]: Failed opening './includes/unicode.entities.inc' for inclusion (include_path='.:/usr/local/zend/var/libraries/Zend_Framework_1/default/library:/usr/local/zend/share/pear') in /.2/var_www_new.intuit.ru/htdocs/includes/unicode.inc on line 340
Call Stack
#TimeMemoryFunctionLocation
13.119891981720watchdog( )../bootstrap.inc:0
23.120191984184module_invoke( )../bootstrap.inc:967
33.120191986040call_user_func_array ( )../module.inc:462
43.120191986376devel_watchdog( )../module.inc:462
53.120291987224decode_entities( )../devel.module:382
63.120291989144drupal_error_handler( )../devel.module:340
73.120391992752watchdog( )../common.inc:663
83.120391994816module_invoke( )../bootstrap.inc:967
93.120391996672call_user_func_array ( )../module.inc:462
103.120391997008devel_watchdog( )../module.inc:462
113.120391997704decode_entities( )../devel.module:382
( ! ) Warning: include_once(./includes/unicode.entities.inc) [<a href='function.include-once'>function.include-once</a>]: failed to open stream: No such file or directory in /.2/var_www_new.intuit.ru/htdocs/includes/unicode.inc on line 340
Call Stack
#TimeMemoryFunctionLocation
13.119891981720watchdog( )../bootstrap.inc:0
23.120191984184module_invoke( )../bootstrap.inc:967
33.120191986040call_user_func_array ( )../module.inc:462
43.120191986376devel_watchdog( )../module.inc:462
53.120291987224decode_entities( )../devel.module:382
63.121191989336drupal_error_handler( )../devel.module:340
73.121191993024watchdog( )../common.inc:663
83.121191995088module_invoke( )../bootstrap.inc:967
93.121191996944call_user_func_array ( )../module.inc:462
103.121191997280devel_watchdog( )../module.inc:462
113.121191998056decode_entities( )../devel.module:382
( ! ) Warning: include_once() [<a href='function.include'>function.include</a>]: Failed opening './includes/unicode.entities.inc' for inclusion (include_path='.:/usr/local/zend/var/libraries/Zend_Framework_1/default/library:/usr/local/zend/share/pear') in /.2/var_www_new.intuit.ru/htdocs/includes/unicode.inc on line 340
Call Stack
#TimeMemoryFunctionLocation
13.119891981720watchdog( )../bootstrap.inc:0
23.120191984184module_invoke( )../bootstrap.inc:967
33.120191986040call_user_func_array ( )../module.inc:462
43.120191986376devel_watchdog( )../module.inc:462
53.120291987224decode_entities( )../devel.module:382
63.121191989336drupal_error_handler( )../devel.module:340
73.121191993024watchdog( )../common.inc:663
83.121191995088module_invoke( )../bootstrap.inc:967
93.121191996944call_user_func_array ( )../module.inc:462
103.121191997280devel_watchdog( )../module.inc:462
113.121191998056decode_entities( )../devel.module:382
( ! ) Warning: include_once(./includes/unicode.entities.inc) [<a href='function.include-once'>function.include-once</a>]: failed to open stream: No such file or directory in /.2/var_www_new.intuit.ru/htdocs/includes/unicode.inc on line 340
Call Stack
#TimeMemoryFunctionLocation
13.121691982264watchdog( )../bootstrap.inc:0
23.121691984328module_invoke( )../bootstrap.inc:967
33.121691986184call_user_func_array ( )../module.inc:462
43.121691986520devel_watchdog( )../module.inc:462
53.121791987224decode_entities( )../devel.module:382
63.121791989144drupal_error_handler( )../devel.module:340
73.121791992752watchdog( )../common.inc:663
83.121791994816module_invoke( )../bootstrap.inc:967
93.121791996672call_user_func_array ( )../module.inc:462
103.121791997008devel_watchdog( )../module.inc:462
113.121891997704decode_entities( )../devel.module:382
( ! ) Warning: include_once() [<a href='function.include'>function.include</a>]: Failed opening './includes/unicode.entities.inc' for inclusion (include_path='.:/usr/local/zend/var/libraries/Zend_Framework_1/default/library:/usr/local/zend/share/pear') in /.2/var_www_new.intuit.ru/htdocs/includes/unicode.inc on line 340
Call Stack
#TimeMemoryFunctionLocation
13.121691982264watchdog( )../bootstrap.inc:0
23.121691984328module_invoke( )../bootstrap.inc:967
33.121691986184call_user_func_array ( )../module.inc:462
43.121691986520devel_watchdog( )../module.inc:462
53.121791987224decode_entities( )../devel.module:382
63.121791989144drupal_error_handler( )../devel.module:340
73.121791992752watchdog( )../common.inc:663
83.121791994816module_invoke( )../bootstrap.inc:967
93.121791996672call_user_func_array ( )../module.inc:462
103.121791997008devel_watchdog( )../module.inc:462
113.121891997704decode_entities( )../devel.module:382
( ! ) Warning: include_once(./includes/unicode.entities.inc) [<a href='function.include-once'>function.include-once</a>]: failed to open stream: No such file or directory in /.2/var_www_new.intuit.ru/htdocs/includes/unicode.inc on line 340
Call Stack
#TimeMemoryFunctionLocation
13.121691982264watchdog( )../bootstrap.inc:0
23.121691984328module_invoke( )../bootstrap.inc:967
33.121691986184call_user_func_array ( )../module.inc:462
43.121691986520devel_watchdog( )../module.inc:462
53.121791987224decode_entities( )../devel.module:382
63.122291989336drupal_error_handler( )../devel.module:340
73.122291993024watchdog( )../common.inc:663
83.122391995088module_invoke( )../bootstrap.inc:967
93.122391996944call_user_func_array ( )../module.inc:462
103.122391997280devel_watchdog( )../module.inc:462
113.122391998056decode_entities( )../devel.module:382
( ! ) Warning: include_once() [<a href='function.include'>function.include</a>]: Failed opening './includes/unicode.entities.inc' for inclusion (include_path='.:/usr/local/zend/var/libraries/Zend_Framework_1/default/library:/usr/local/zend/share/pear') in /.2/var_www_new.intuit.ru/htdocs/includes/unicode.inc on line 340
Call Stack
#TimeMemoryFunctionLocation
13.121691982264watchdog( )../bootstrap.inc:0
23.121691984328module_invoke( )../bootstrap.inc:967
33.121691986184call_user_func_array ( )../module.inc:462
43.121691986520devel_watchdog( )../module.inc:462
53.121791987224decode_entities( )../devel.module:382
63.122291989336drupal_error_handler( )../devel.module:340
73.122291993024watchdog( )../common.inc:663
83.122391995088module_invoke( )../bootstrap.inc:967
93.122391996944call_user_func_array ( )../module.inc:462
103.122391997280devel_watchdog( )../module.inc:462
113.122391998056decode_entities( )../devel.module:382