НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 7: Основные семейства распределений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

Гамма-распределение. Говорят, что $\xi$ имеет гамма-распределение с параметрами $\alpha>0$ , $\lambda>0$ , и пишут: $\xi{\,\sim\,}\Gamma_{\alpha,\,\lambda}$ , если $\xi$ имеет следующую плотность распределения:

$f_\xi(x)=\begin{cases} 0, & \text{ если }\, x\le 0, \cr c\cdot x^{\lambda-1}e^{-\alpha x}, & \text{ если }\, x> 0, \end{cases}$

Рис. 7.4. Функция распределения нормального распределения

где постоянная

вычисляется из свойства (f2) плотности так:

$1=\int\limits_{-\infty}^\infty f_\xi(x)\,dx= c\int\limits_0^\infty x^{\lambda-1}e^{-\alpha x}\,dx= \frac{c}{\alpha^\lambda}\int\limits_0^\infty (\alpha x)^{\lambda-1}e^{-\alpha x}\,d(\alpha x) =\frac{c}{\alpha^\lambda}\,\Gamma(\lambda),$

откуда $c={\alpha^{\lambda}}\,/\,{\Gamma(\lambda)}$ . Здесь через $\Gamma(\lambda)$ обозначен интеграл

$\Gamma(\lambda)=\int\limits_0^\infty x^{\lambda-1}e^{-x}\,dx=(\lambda-1) \Gamma(\lambda-1),$

называемый гамма-функцией Эйлера; $\Gamma(k)=(k-1)$ ! при целых положительных

, $\Gamma(1)=1$ . Замена в интеграле Пуассона даст $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ .

Полезно отметить, что показательное распределение есть частный случай гамма распределения: ${\mathrm E}_\alpha=\Gamma_{\alpha,\,1}$ .

Функцию распределения гамма-распределения можно записать, вообще говоря, только в виде интеграла:

$\quad F_\xi(x)=\frac{\alpha^{\lambda}}{\Gamma(\lambda)}\; \int\limits_0^x \;t^{\lambda-1}e^{-\alpha t} dt.$

Распределение Коши. Говорят, что $\xi$ имеет распределение Коши с параметрами $a\in\mathbb R$ , $\sigma>0$ , и пишут: $\xi{\,\sim\,}\textrm{C}_{a,\sigma}$ , если $\xi$ имеет следующую плотность распределения:

$f_\xi(x)=\frac1\pi\,\frac{\sigma}{\sigma^2+(x-a)^2}\, \text{ для любого } x\in\mathbb R.$

Плотность распределения Коши симметрична относительно прямой x=a и похожа на плотность нормального распределения, но имеет более толстые "хвосты" на $\pm\infty$ . Функция распределения случайной величины $\xi$ с распределением Коши равна $F_\xi(x)=\frac12+\frac1\pi\,\textrm{arctg}\,\Bigl(\frac{x-a}{\sigma}\Bigr)$ при всех .

Распределение Парето. Говорят, что $\xi$ имеет распределение Парето с параметром $\alpha >0$ , если $\xi$ имеет следующие плотность и функцию распределения:

$f_\xi(x)=\begin{cases} \frac{\alpha}{x^{\alpha+1}}, & \text{ если }\, x \ge 1,\cr 0, & \text{ если }\, x < 1; \end{cases}\qquad F_\xi(x)=\begin{cases} 1-\frac{1}{x^\alpha}, & \text{ если }\, x \ge 1,\cr 0, & \text{ если }\, x < 1. \end{cases}$

Часто рассматривают более широкий класс распределений Парето, сосредоточенных не на $[1,\,\infty)$ , а на $[c,\,\infty)$ при c>0

.

С другими абсолютно непрерывными распределениями (хи-квадрат Пирсона, распределениями Стьюдента, Фишера, Колмогорова, Лапласа, Вейбулла, логарифмически нормальным и некоторыми другими) читатель познакомится при изучении математической статистики.

Свойства нормального распределения. Рассмотрим отдельно свойства самого главного распределения. Сначала установим связь между функциями $\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)$ и $\Phi_{0,\,1}(x)$ .

Свойство 14. Для любого $x\in \mathbb R$ справедливо соотношение:

$\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)=\Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x-a}{\sigma}\Bigr).$

Доказательство. Действительно,

$\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)=\!\int\limits_{-\infty}^x {\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e}^{-(t-a)^2/\,2\sigma^2}dt =\!{\int\limits_{-\infty}^{\tfrac{x-a}{\sigma\mathstrut}}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/\mspace{2mu}2}dy =\Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x-a}{\sigma}\Bigr).$

Мы сделали замену переменных $y=\frac{t-a}{\sigma}$ , $dt=\sigma\,dy$ , верхняя граница интегрирования t=x

при такой замене перешла в $y=\frac{x-a}{\sigma}$ .

То же самое для случайных величин можно сформулировать так:

Следствие 2. Если $\xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}$ , то $\eta=\frac{\xi-a}{\sigma}\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{0,\,1}$ .

Доказательство. Убедимся, что случайная величина $\eta$ имеет функцию распределения $\Phi_{0,\,1}(x)$ :

$\begin{eqnarray*} F_\eta(x)&=&\Prob(\eta<x)=\Prob\Bigl(\frac{\xi-a}{\sigma}<x\Bigr)= \Prob(\xi<\sigma x+a)\,= \\ &=&\Phi_{a,\,\sigma^2}(\sigma x+a)= \Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{\sigma x+a-a}{\sigma}\Bigr)=\Phi_{0,\,1}(x). \end{eqnarray*}$

Следствие 3. Если $\xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}$ , то

$\Prob(x_1< \xi<x_2)=\Phi_{a,\,\sigma^2}(x_2)-\Phi_{a,\,\sigma^2}(x_1)= \Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x_2-a}{\sigma}\Bigr)- \Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x_1-a}{\sigma}\Bigr).$

Видим, что вычисление любых вероятностей для нормально распределенной случайной величины сводится к вычислению функции распределения $\Phi_{0,\,1}(x)$ . Она обладает следующими свойствами ( нарисуйте их на графике плотности стандартного нормального распределения ).

Свойство 15. $\Phi_{0,\,1}(0)=0{,}5$ , $\Phi_{0,\,1}(-x)=1-\Phi_{0,\,1}(x)$ .

Свойство 16. Если $\xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{0,1}$ , то для любого x>0

$\Prob(|\xi|<x)=1-2\Phi_{0,\,1}(-x)=2\Phi_{0,\,1}(x)-1.$

Доказательство. При x>0 имеем

$\begin{multiple*} \Prob(|\xi|<x)&=&\Prob(-x<\xi<x)= \Phi_{0,\,1}(x)-{\Phi_{0,\,1}(-x)}=\\=1-2\Phi_{0,\,1}(-x)=2\Phi_{0,\,1}(x)-1.\qquad \end{multiple*}$

Свойство 17. (Правило трех сигм) Если $\xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}$ , то

$\Prob(|\xi-a|\ge 3\sigma)=0{,}0027 \textup{ \, ( совсем мало )}.$

Доказательство. Перейдем к противоположному событию:

$\Prob\bigl(|\xi-a|\ge 3\sigma\bigr)=1-\Prob\bigl(|\xi-a|<3\sigma\bigr)= 1-\Prob\biggl(\Bigl|\frac{\xi-a}{\sigma}\Bigr|<3\biggr).$

Но величина $\eta=\frac{\xi-a}{\sigma\mathstrut}$ имеет стандартное нормальное распределение и можно использовать свойство 16

$1-\Prob(|\eta|<3) =2\Phi_{0,\,1}(-3)= 2\cdot 0{,}00135=0{,}0027.$

Число $\Phi_{0,\,1}(-3)=0{,}00135$ полезно отыскать в таблице.

Большого смысла в запоминании числа 0,0027 нет, но полезно помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах от $a-3\sigma$ до $a+3\sigma$ .

Дальше >>

Введение в теорию вероятностей

Основные семейства распределений

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Основные семейства распределений

Вопросы и ответы

Студенты