Диаграммы

Теорема 73. Теория является -аксиоматизируемой тогда и только тогда, когда она устойчива относительно перехода к расширениям.

151. Проведите подробно соответствующее рассуждение (дав необходимые определения).

152. Докажите, что если формула устойчива относительно перехода к расширениям, то она выводимо эквивалентна -формуле той же сигнатуры.

Теоретико-модельные критерии существуют и для других классов формул, в частности -формул (то есть формул типа ). Такие формулы не устойчивы ни относительно расширений, ни относительно подструктур. Рассмотрим, например, утверждение об отсутствии наибольшего элемента в упорядоченном множестве. Оно записывается в виде -формулы. Истинность его в некотором множестве вовсе не влечет его истинность в подмножествах и в расширениях. Тем не менее кое- что об этом утверждении сказать можно: если ни одно из множеств возрастающей цепи не имеет наибольшего элемента, то и объединение не имеет наибольшего элемента (проверьте). Именно это свойство, как мы вскоре увидим, характеризует -формулы.

Пусть дана последовательность

нормальных (в этом разделе мы другие не рассматриваем) интерпретаций сигнатуры , причем является подструктурой (предикаты и функции согласованы). Тогда объединение этой возрастающей цепи интерпретаций также является (нормальной) интерпретацией сигнатуры . (Подобная конструкция используется в теории полей, когда строится алгебраическое замыкание счетного поля: мы расширяем поле, добавляя по очереди корни различных многочленов, а потом берем объединение этих полей.)

Заметим, что любая -формула устойчива относительно объединения цепей: если она истинна во всех , то она истинна и в их объединении. В самом деле, пусть формула с бескванторной частью истинна во всех . Тогда она истинна и в их объединении. В самом деле, любое из объединения принадлежит какому-то , и в том же самом можно найти подходящее . (Если переменных несколько, рассуждение аналогично.)

Поэтому и любая теория, имеющая -аксиоматизацию, устойчива относительно объединения. Обратное утверждение также верно:

Теорема 74 (Чэна-Лося-Сушко). Теория является -аксиоматизируемой тогда и только тогда, когда она устойчива относительно объединения возрастающих цепей (объединение любой цепи ее моделей также является ее моделью).

Доказательство этой теоремы использует понятие элементарного расширения. Напомним, что называется элементарным расширением , если и в истинны те же формулы с константами из , что и в . (Обозначение: .)

153. Покажите, что если , то есть элементарное расширение .

Лемма Тарского. Объединение цепи элементарных расширений является элементарным расширением каждой из интерпретаций цепи.

Доказательство леммы. Пусть параметрам формулы приданы значения в каком-либо из . Нам надо доказать, что полученная формула одновременно истинна или ложна в и в объединении цепи, которое мы обозначим через . (Условие леммы гарантирует, что формула с указанными значениями параметров одновременно истинна или ложна во всех интерпретациях цепи, начиная с .)

Это утверждение доказывается индукцией по построению формулы . Для атомарных формул оно очевидно; для логических операций индукция также проходит автоматически. Единственный содержательный случай — это кванторы. Пусть формула начинается с квантора . Если подходящее значение найдется уже в , то оно годится и для (пользуемся предположением индукции). В обратную сторону: если подходящее найдется в , то оно принадлежит при достаточно большом , поэтому формула истинна в (предположение индукции). Остается вспомнить, что элементарно эквивалентно .

Как всегда, квантор всеобщности можно выразить с помощью квантора сушествования (или провести двойственное рассуждение). Лемма Тарского доказана.

Теперь докажем теорему Чэна-Лося-Сушко. Предположим, что теория устойчива относительно объединения цепей. Обозначим через множество всех -теорем . Нам надо доказать, что любая модель является моделью .

Для этого, начав с любой модели теории , мы построим цепь интерпретаций

в которой чередуются модели теории (интерпретации ), которые являются элементарными расширениями друг друга, и модели теории (интерпретации ; они, впрочем, также будут моделями теории ).

Объединение всех будет моделью теории , так как эта теория устойчива относительно расширений. С другой стороны, по лемме Тарского это объединение элементарно эквивалентно интерпретациям Поэтому все они, включая исходную модель , будут моделями теории , что и требовалось доказать.

Осталось построить требуемую цепь. Интерпретация уже есть. Будем строить цепь по шагам, продолжая ее на каждом шаге на два звена вперед. Возможность этого обеспечивает такая лемма: