Диаграммы

Теорема 71. Пусть даны две теории (с равенством) и некоторой сигнатуры. Тогда следующие свойства равносильны:

(а) существует нормальная модель теории и ее расширение, являющееся нормальной моделью теории ;

(б) объединение со всеми -теоремами теории совместно;

(в) объединение со всеми -теоремами теории совместно.

Прежде всего отметим, что из (а) очевидно следуют (б) и (в). В самом деле, если — модели соответствующих теорий, то в истинны все теоремы теории и все -теоремы теории (поскольку они наследуются из ), а в истинны все теоремы теории и все -теоремы теории .

Легко проверить, что симметричные условия (б) и (в) равносильны друг другу, а также такому свойству: не существует - теоремы теории и отрицающей ее -теоремы теории . Пусть, например, теория несовместна с -следствиями теории . В этом противоречии участвует конечное число -формул, которые можно объединить в одну. Получится -формула, она будет выводима в теории , а ее отрицание — в .

Нам осталось доказать, что любое из свойств (б) и (в) влечет (а). Здесь нам придется нарушить симметрию и использовать именно (б). По условию есть интерпретация , в которой истинны все теоремы теории и все -теоремы теории . Согласно теореме 70 найдется ее расширение , являющееся моделью , что и требовалось доказать.

Можно было бы пытаться рассуждать симметричным образом, начав с модели теории , в которой истинны все -теоремы теории , и пытаться выделить в ней подструктуру, являющуюся моделью теории . Однако этот план не проходит, поскольку аналог теоремы 70 для подструктур неверен.

149. Покажите, что возможна такая ситуация: все -теоремы некоторой теории истинны в некоторой интерпретации , но не имеет подструктуры, являющейся моделью теории . (Указание. Рассмотрим теорию линейно упорядоченных множеств без минимального элемента. Все ее -следствия верны в , поскольку переносятся из , поэтому в силу элементарной эквивалентности верны и в .)

Вот еще одно следствие доказанных в этом разделе результатов. Теорию называют -аксиоматизируемой, если существует множество -формул, из которого выводятся все теоремы теории и только они.

Напомним, что нормальная интерпретация сигнатуры является подструктурой нормальной интерпретации той же сигнатуры, если является расширением , то есть носитель интерпретации есть подмножество носителя интерпретации и функциональные и предикатные символы интерпретируются одинаково на аргументах из . (Другими словами, чтобы задать какую-либо подструктуру данной нормальной интерпретации , нужно выбрать подмножество носителя , замкнутое относительно сигнатурных операций.)

Теорема 72 (Лося-Тарского). Теория -аксиоматизируема тогда и только тогда, когда она устойчива относительна перехода к подструктурам, то есть когда любая подструктура любой ее нормальной модели является ее моделью.

Очевидно, -аксиоматизируемая теория устойчива относительно перехода к подструктурам (все формулы из ее -аксиоматизации остаются истинными). Обратно, пусть — произвольная теория, устойчивая относительно перехода к подструктурам. Рассмотрим множество всех - формул, выводимых в . Проверим, что все теоремы выводятся из . Пусть какая-то формула выводится из , но не из . Тогда теория непротиворечива и по теореме 71 найдется (нормальная) модель теории и ее расширение, являющееся моделью теории , что противоречит предположению.

150. Докажите, что если формула устойчива относительно перехода к подструктурам, то она выводимо эквивалентна -формуле той же сигнатуры.

Симметричное рассуждение доказывает симметричное утверждение про -аксиоматизируемые теории.