Функции SML для основных комбинаторов

Теоретические сведения

Согласно определению, комбинатором называется ламбда-выражение, не содержащее связанных переменных. Например, если в законе коммутативности

x+y = y+x

определить функцию

alpha(x,y) = x + y

и оператор С

(Cf)(x,y) = f(xy),

то данный закон примет следующий вид:

alpha = C alpha.

Формальная система комбинаторной логики естественным образом отображается на языки функционального программирования. В качестве иллюстрации определим SML-функции для базисных комбинаторов I, K, S:

fun Ix = x;
fun Kxy = x;
fun Sxyz = xz(yz);

Напомним, что характеристики перечисленных комбинаторных термов в рамках формальной системы комбинаторной логики имеют вид:

Ix = x,
Sxyz = xz(yz),
Kxy=x.

Задание

Сформулируйте формальную постановку задачи, запишите правила вывода и реализуйте программу на SML в соответствии с вариантом исполнения.

Варианты заданий

Выразить в базисе {K,S} комбинаторы с заданными характеристиками, убедиться в справедливости произведенных преобразований:

1. I, где Ia = a ;
2. B, где B abc = a(bc) ;
3. C, где C abc = acb ;
4. W, где W ab = abb ;
5. Y, где Y abcd = a(bc)(bd) ;
6. C^[2], где C^[2] abcd = acdb ;
7. C_[2], где C_[2] abcd = adbc ;
8. Y, где Ya = a (Ya) ;
9. C^[3], где C^[3] abcde = acdeb ;
10. C_[3], где C_[3] abcde = aebcd ;
11. B³, где B³ abcde = a(bcde) ;
12. F, где F abcd = a(bd)(cd) ;

Выразить в базисе {B,C,S} комбинаторы с заданными характеристиками, убедиться в справедливости произведенных преобразований:

13. I, где Ia = a ;
14. K, где K ab = a ;
15. S, где S abc = ac(bc) ;
16. W, где W ab = abb ;
17. Y, где Y abcd = a(bc)(bd) ;
18. C^[2], где C^[2] abcd = acdb ;
19. B², где B² abcd = a(bcd) ;
20. Y, где Ya = a (Ya) ;
21. C^[3], где C^[3] abcde = acdeb ;
22. C_[3], где C_[3] abcde = aebcd ;
23. F, где F abcd = a(bd)(cd).