Элементы дискретного математического анализа

Геометрически интерполяция состоит в нахождении по точкам M_i(x_i;y_i), i=1, 2,..., n на графике y=f(x), некоторой плавной кривой y=F(x), проходящей через эти точки и мало отклоняющейся от графика y=f(x) в других точках.

Таких функций может быть много - задача интерполяции не имеет единственного решения. Обычно стараются выбрать наиболее простую по форме и наиболее точную интерполянту, например, многочлен вида F(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+...+a₀. Покажем на примере, как находить интерполянту.

Пример. Пусть дана дискретная функция

Подберем для этой функции интерполянту - многочлен 2-го порядка: F(x)=ax²+bx+c. Подставив значения в трех точках x=0, x=1, x=2 поочередно в функцию F(x), получаем систему из уравнений вида: F(0)=c=1, F(1)=a+b+c=-2, F(2)=4a+2b+c=3. Решая, мы найдем неизвестные коэффициенты интерполянты: a=4, b=-7, c=1, то есть найдем интерполянту F(x)=4x²-7x+1.

Рассмотрим задачу аппроксимации: задана табличная функция

Найти функцию z=f(x), легко вычисляемую и легко записываемую, которая приближенно заменяет (аппроксимирует) данную табличную функцию, причем в отличие от задачи интерполяции мы уже не требуем тут непосредственного совпадения с заданной табличной функцией в заданных точках. Достаточно лишь малого отклонения от них в этих точках, как и в любых других точках области задания функции.

Найденная при этом функция y=f(x) называется эмпирической функцией (или формулой), или аппроксимирующей функцией, математической моделью.

Мы рассмотрим нахождение эмпирической функции в виде многочлена P_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x+a₀.

Исследуемая величина y может зависеть также и от нескольких независимых факторов - x₁, x₂,..., x_n: y=y(x₁, x₂,..., x_n). Будем предполагать, что между x и y есть однозначное соответствие, которое и будем искать.

Пусть формула содержит неизвестные параметры функциональной зависимости, т.е. y=f(x, a₀, a₁,..., a_m). Конкретные числовые значения этих параметров, соответствующие данному набору y₁, y₂,..., y_n, выбирают из условия наилучшего, в каком-то смысле, согласования теоретических y(x_i) и экспериментальных y_i данных (i=1, 2,..., n). Наиболее широко применяемый критерий близости - критерий метода наименьших квадратов. Рассмотрим его на примере наиболее часто выбираемой в качестве эмпирической функции - многочлена y=P_m(x)=a₀+a₁x+...+ a_mx^m. Необходимо найти неизвестные параметры a_i, i=1, 2,...,n. Если бы измерения были точны, то для определения m+1 неизвестных a₀, a₁,..., a_m достаточно было бы сделать m+1 измерение - в точках x₁, x₂,..., x_m+1, затем подставить в формулу и получить систему m+1 линейных алгебраических уравнений вида: , которую можно решить, например, методом Гаусса. На практике же значения , i=1,...,n искажены (допускаемыми приборами и методикой измерения), то есть на самом деле , i=1,2,..., n, где - ошибки измерений. Из этих равенств получаем

Предполагаем, что . Величины называются невязками . Числа a₀, a₁,..., a_m определяют из условия минимума суммы квадратов невязок: где A - множество всех допустимых значений параметров a₀, a₁,..., a_m.

Сумму можно рассматривать как функцию от m+1 параметра (параметров):

Из условия минимума этой суммы получаем систему так называемых нормальных уравнений (или нормальную систему уравнений):

В случае полинома получаем функционал вида

и систему уравнений (нормальную систему): Эту систему алгебраических линейных уравнений можно решить, например, методом Гаусса и найти неизвестные параметры a₀, a₁,..., a_m эмпирической формулы - многочлена.

Пример. Рассмотрим функцию, заданную нижеследующей таблицей.

Будем искать линейную зависимость y=a₀x+a₁. Этот вид зависимости мы выбрали только по критерию наибольшей простоты, хотя по изменениям значений функции видно, что такая зависимость хорошо "работает" только при x=1,5 ; 1,7 ; 1,8 и совсем "плоха" для последних двух значений. Находим нормальную систему: Решим эту систему и находим: y=442,8x-261,8.

Рассмотрим теперь новый класс задач - численное вычисление определенных интегралов или численное интегрирование.

Пусть f(x) - непрерывная (а поэтому и интегрируемая) на отрезке [a;b] функция. Если F(x) есть первообразная для f(x) на интервале, содержащем отрезок [a;b], то задача интегрирования через элементарные функции для большинства функций разрешима. Если первообразная функция не выражается через элементарные функции ("интеграл не берется в квадратурах"), то нужно использовать численное интегрирование.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении интеграла на отрезке [a;b] заменой подынтегральной функции f(x) на этом отрезке [a;b] другой, интерполирующей или аппроксимирующей функцией g(x) (например, многочленом).

Пусть функция f(x) считается заданной в n+1 равноотстоящих точках: a=x₀, x₁, x₂,..., x_n-1, x_n=b. Соответствующие значения равны: f(x_i)=y_i, i=0,1, 2,... n, h=x_i-x_i-1. Формула носит название формулы трапеции, так как при f(x)>0 приближенное значение интеграла слева получается в виде суммы площадей n трапеций:

Пример. Вычислить интеграл от 0 до 1 от функции вида y=x²+sin (x/4). Используем точки x_i=0,i, i=0, 1,..., 10. Найдем значения функции (таблица).

По формуле трапеций получаем

Так как точное значение интеграла также можно вычислить приближенно:

то относительная погрешность вычисления интеграла не больше 1,5%.