НОУ ИНТУИТ | Введение в математику. Лекция 3: Координаты и векторы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 18.04.2007 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Кабардино-Балкарский государственный университет

|

Вам нравится? Нравится 124 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Рассматриваются основные математические понятия, связанные с определением положения объекта на плоскости и в пространстве, с его ориентацией и направлением, а также их обобщения на пространства большей размерности

Ключевые слова: Числовой осью, прямой, действительное число, расстояние, осью, ПО, плоскостью, значение, определение системы, прямоугольной декартовой системой координат на плоскости, осью абсцисс, осью ординат, плоскость, упорядоченные системы, прямоугольной декартовой системой координат в пространстве, осью аппликат, полярная система координат, полюсом, полярной осью, исключение, координаты, определение, сферическая система координат, связь, скалярные, векторные, словарный запас, скалярная величина, векторная величина, Геометрическим вектором, вектором, модулем, нулевым, коллинеарны, параллельны, компланарны, равны, Радиус-вектор, вектор, вектор-проекцией, проекцией, единичным вектором, ортом, орт, радиус, равенство, разложение вектора, координатой, размерностью, единичными векторами, ортами, суммой, Разностью, Произведением вектора, на скаляр, операции, аксиома, противоположный вектор, дистрибутивность, Скалярным произведением, Свойства скалярного произведения, направляющими косинусами, Произведение, алгебраические, компонент, Сумма, разность, Произведение скаляра, скалярное произведение, длина

Координаты и векторы

Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой определены: точка O - начало отсчета; положительное направление, указываемое стрелкой; масштаб измерения (принцип отложения чисел на оси, часто с указанием единицы измерения). Условное изображение числовой прямой (числового луча) приведено на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Числовая прямая

Для каждого действительного числа x на числовой оси R определена единственная точка, соответствующая его количеству (изображающая это число с учетом выбранного масштаба и отсчета) и наоборот, то есть совокупность R и множество точек числовой оси могут быть связаны общим, однозначно определяемым правилом, законом.

Пример. Числу 5 на числовой оси соответствует точка, удаленная на расстояние в 5 единиц масштаба от начальной точки (точки отсчета 0 ).

Пример. Точке A, удаленной на расстояние 3 единицы масштаба от начала координат O можно сопоставить число 3.

Числовая прямая, расположенная обычно на плоскости горизонтально к рассматривающему, называется осью x ( Ox ), а числовая прямая, расположенная обычно вертикально к нему, - осью y (Oy) .Эти прямые образуют систему ориентации каждой точки на плоскости по двум ее координатам.

Плоскость, определяемая этими двумя перпендикулярными (или, как говорят в математике, ортогональными) числовыми прямыми, называется плоскостью xy (xOy) .

Каждая пара вещественных значений (x;y) задает одну единственную точку M(x;y) на этой плоскости, которая определяется как точка пересечения перпендикулярных (ортогональных) прямых, проходящих через значения x оси Ox и значение y оси Oy. Наоборот, каждой точке (x;y) можно сопоставить пару вещественных чисел: x - на оси Ox и y - на оси Oy. Так определенная система двух перпендикулярных числовых прямых называется прямоугольной декартовой системой координат на плоскости (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Декартова система координат на плоскости

Оси координат обычно помечаются буквами.

Ось Ox называется осью абсцисс , ось Oy - осью ординат .Эти оси делят плоскость xOy на 4 части (координатных угла или, как их еще называют, квадранта).

Упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом отсчета (началом координат) и общей единицей измерения длины (масштабом) называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве .Обозначается такая система Oxyz или xyz. Ось Ox называется осью абсцисс, Oy - осью ординат, Oz - осью аппликат .

Кроме декартовой системы координат, часто используют и другие удобные, не обязательно прямоугольные, системы координат.

Одной из наиболее часто используемых является полярная система координат, определяющая, как и в декартовой системе, однозначное положение точки на плоскости с помощью двух параметров.

Возьмем на плоскости точку O (называемую полюсом ) и выходящую из этой точки полупрямую (называемую полярной осью ). Если на этой прямой задать масштаб и положительное направление, то мы определим полярную систему координат. Положение точки M на плоскости в полярной системе координат задается двумя числовыми величинами: $\rho$ - расстоянием точки M от полюса, то есть $|OM|=\rho$ и $\varphi$ - углом, образованным отрезком OM с положительным направлением полярной оси. Обозначим точку с полярными координатами в виде $M(\rho;\varphi )$ . Обычно считают, что $0\le \varphi <2\pi$ , $\rho>0$ . Эти значения называются главными значениями. Каждая точка на плоскости однозначно определяется полярными координатами. Исключение составляет единственная точка $O(0;\varphi )$ , где угол $\varphi$ может быть любым. Условно, в этом случае берется угол $\varphi = 0$ .

Найдем зависимость между координатами точки M(x;y) в прямоугольной декартовой системе координат и ее координатами $M(\rho;\varphi )$ в полярной системе.

Построим прямоугольную систему xOy, где ось Ox совпадает с полярной осью, O(0;0) - начала координат, а положительные направления этих осей совпадают (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Декартова и полярная системы координат на плоскости

Используя прямоугольные треугольники и тригонометрические функции, получим следующие основные соотношения:

$\aligned x=\rho \cos \varphi , \\ y=\rho \sin \varphi . \endaligned$

Таким образом, зная полярные координаты точки, можно найти прямоугольные координаты этой же точки. Кроме того, если использовать основное тригонометрическое соотношение и определение тангенса угла из школьного курса (нужно сложить квадраты x, y, а затем поделить y на x ), то справедливы следующие соотношения:

$\aligned \rho = \sqrt{x^2+y^2}, \\ \tg\varphi = \frac {y}{x}. \endaligned$

Таким образом, если мы знаем прямоугольные координаты точки, то можем определить соответствующие полярные декартовы координаты.

Пример. Если $\rho=4$ , $\varphi =\pi/4$ , то по соответствующим формулам получаем

$\sqrt{x^2+y^2} =4,$

$\frac {y}{x}=1.$

Отсюда выводим систему: y=x, x²+y²=16 или $x=y=2\sqrt{2}$ .

Пример. Уравнение окружности с центром в начале координат и радиуса r в декартовой системе координат, как известно, имеет вид: x²+y²=r². Уравнение окружности в полярных координатах будет иметь вид

$\rho^2\cos^2\varphi +\rho ^2\sin^2\varphi = r^2 \ \implies \ \rho ^2=r^2 \ \implies \ \rho =r.$

Итак, это уравнение намного проще по виду: $\rho = r$ . Кроме того, это уравнение освобождено от "лишнего" параметра $\varphi$ , который в данном случае считается любым из диапазона $0\le\varphi <2\pi$ . Работать с объектами в полярной системе координат часто проще на практике, в геодезии, астрономии и др.

Удобной в пространстве системой координат является и так называемая сферическая система координат. В этой системе положение точки M(x;y;z) в пространстве однозначно определяется ее расстоянием r от начала координат (длиной отрезка OM ), углом $\theta$ $(0\le\theta\le\pi)$ между OM и положительной полуосью Oz и углом $\varphi$ ( $0\le \varphi \le2\pi)$ между проекцией OM на плоскость xOy и положительной полуосью Ox (рис. 3.4).

Выясним форму связи сферических и декартовых координат. По рис. 3.4:

$\aligned MP = r\sin \Bigl(\frac {\pi}{2} -\theta \Bigr) = r\cos\theta , \quad OP = r\cos \Bigl(\frac {\pi}{2} -\theta \Bigr) = r\sin\theta , \\ x=OP\cos\varphi , \quad y=OP\sin\varphi . \endaligned$