НОУ ИНТУИТ | Компьютерная математика с Maxima. Лекция 3: Задачи высшей математики с Maxima

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

3.4 Экстремумы функций

3.4.1 Отыскание максимумов и минимумов

Точки, где достигается наибольшее или наименьшее значение функции называются соответственно точками максимума или минимума функции.

Определение 1. Точка x_0 называется точкой максимума функции f(x) , если в некоторой окрестности точки x_0 выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$ (см. рис. 3.3).

Определение 2. Точка x_1 называется точкой минимума функции f(x) , если в некоторой окрестности точки x_1 выполняется неравенство $f(x)\le f(x_1)$ (см. рис. 3.3).

Значения функции в точках x_0 и x_1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тем самым, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки x_0 . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться так, что минимум в одной точке больше максимума в другой.

Наличие максимума (или минимума) в отдельной точке промежутка вовсе не означает, что в этой точке функция f(x) принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят имеет глобальный максимум (минимум)).

3.4.1.1 Теорема Ферма

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция y = f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения в внутренней точке x_0 , то тогда производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f'(x_0) = 0 .

увеличить изображение
Рис. 3.3. Экстремумы функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на промежутке и в точке $x_0\in X$ принимает наименьшее значение (см. рис. 3.4).

Тогда

$f(x_0+\Delta x)\ge f(x_0)$

если $x_0+\Delta x\in X$ и, следовательно

$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\ge 0$

при достаточно малых $\Delta x$ и независимо от знака $\Delta x$ .

Поэтому

$\frac{\Delta y}{\Delta x}\ge 0\; \mbox{при}\; \Delta x>0\; (\mbox{справа от}\; x_0);$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}\le 0\; \mbox{при}\; \Delta x<0\; (\mbox{слева от}\; x_0).$

Рис. 3.4. Иллюстрация теоремы Ферма

Переходя к пределу справа и слева получим

$\lim_{\Delta x\to 0+}\frac{\Delta y}{\Delta x}\ge 0\; \mbox{и}\; \lim_{\Delta x\to 0-}\frac{\Delta y}{\Delta x}\le 0.$

Так как функция дифференцируема на промежутке

, то пределы справа и слева равны

$\lim_{\Delta x\to 0+}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0-}\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

Отсюда

.

Аналогичную последовательность рассуждений можно построить и для максимума.

Теорему Ферма часто называют необходимым условием экстремума дифференцируемой функции.

Геометрический смысл теоремы Ферма: в точке экстремума, достигаемого внутри промежутка , касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

3.4.1.2 Необходимое условие экстремума

Если в точке x_0 дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняются условия теоремы Ферма, и следовательно, производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f'(x_0) = 0 . Но функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Так, например, функция y = |x| имеет экстремум (минимум) в точке x = 0 , но не дифференцируема в ней. Функция

$y=\sqrt[3]{x^2}$

также имеет в точке x = 0

минимум, а ее производная в этой точке бесконечна: $y'=\displaystyle{\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}},\ y'(0)=\infty$ .

Поэтому необходимое условие экстремума может быть сформулировано следующим образом.

Для того чтобы функция y = f(x) имела экстремум в точке x_0 , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ( f'(x_0) = 0 ) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими (или стационарными). Но критическая точка не обязательно является точкой экстремума.

Пример. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках: 1. y=x^2+1; 2. y=x^3-1 .

$y' = 2x.\ y'(x) = 0$ при . В точке функция имеет минимум.
$y' = 3x^2.\ y'(x) = 0$ при . В точке функция не имеет экстремума. Функция возрастает на всей числовой оси.

Итак, для нахождения экстремумов функции требуется дополнительное исследование критических точек.

Пример: Исследовать на наличие экстремума следующую функцию

Задаём исследуемую функцию

(%i1)	f(x):=x^3-3*x^2+3*x+2;

$f\left( x\right) :={x}^{3}-3\,{x}^{2}+3\,x+2\leqno{(\%o1) }$

Производную в форме функции определяем явно, используя функцию define

(%i2)	define(df(x),diff(f(x),x));

$df\left( x\right) :=3\,{x}^{2}-6\,x+3\leqno{(\%o2) }$

Решая уравнение df(x) = 0 (т.е. f'(x) = 0 , находим критические точки

(%i3)	solve(df(x)=0,x);

$[x=1]\leqno{(\%o3) }$

В данном случае критическая точка одна — x = 1 .

3.4.1.3 Первое достаточное условие экстремума

Теорема. Если при переходе через точку x_0 производная дифференцируемой функции y = f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка x_0 есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, то — точка минимума.

Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. в некотором интервале ( a,x_0 ) производная положительна ( f'(x) > 0 ), а в некотором интервале ( x_0,b ) — отрицательна ( f'(x) < 0 ) (см. рис. 3.5). Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности функция f(x) возрастает на интервале ( a,x_0 ) и убывает на интервале ( x_0,b ).

По определению возрастающей функции $f(x_0)\ge f(x)$ при всех $x\in (a,x_0)$ , а по определению убывающей функции $f(x)\le f(x_0)$ при всех $x\in (x_0,b)$ , т.е. $f(x_0)\ge f(x)$ при всех $x\in (a,b)$ , следовательно, x_0 — точка максимума функции y = f(x) .

Аналогично рассматривается случай, когда производная меняет знак с минуса на плюс.

Отметим, что дифференцируемость функции в самой точке x_0 не использовалась при доказательстве теоремы. На самом деле она и не требуется — достаточно, чтобы функция была непрерывна в точке x_0 .

Если изменение знака производной не происходит, то экстремума нет. Однако при работе с системами компьютерной математики удобнее второе достаточное условие экстремума.

Рис. 3.5. Необходимое условие экстремума

3.4.1.4 Второе достаточное условие экстремума

Теорема. Если первая производная f'(x) дважды дифференцируемой функции y = f(x) равна нулю в некоторой точке x_0 , а вторая производная в этой точке f''(x_0) положительна, то x_0 есть точка максимума функции ; если отрицательна, то x_0 — точка максимума.

Пусть f'(x_0)=0 , а f f''(x_0)>0 . Это значит, что

также и в некоторой окрестности точки x_0

, т.е.

возрастает на некотором интервале (a,b)

, содержащем точку x_0

.

Но f'(x_0) = 0 , следовательно, на интервале $(a,x_0)\ f'(x)<0$ , а на интервале $(x_0,b)\ f'(x)>0$ , т.е. f'(x) при переходе через точку x_0 меняет знак с минуса на плюс, т.е. x_0 — точка минимума.

Аналогично рассматривается случай f'(x_0)=0 и f''(x_0)<0 .

Продолжим исследование функции

Как установлено выше, имеется одна критическая точка: x = 1 .

Задаёмся функцией d2f(x)

(%i4)	define(d2f(x),diff(df(x),x));

$d2f\left( x\right) :=6\,x-6\leqno{(\%o4) }$

Вычисляем значение второй производной в критической точке:

(%i5)	map(d2f,%o3);

$[6\,x-6=0]\leqno{(\%o5) }$

В данном примере невозможно определить, является ли точка x = 1 экстремумом исследуемой функции, т.к. вторая производная в ней оказалась равной 0. Следует обратить внимание на способ вычисления — функция d2f(x) применяется ко всем элементам списка, полученного при решении уравнения f'(x) = 0 (используется встроенная функция Maxima map).

Воспользуемся первым достаточным признаком наличия экстремума

(%i6)	df(0);

$3\leqno{(\%o6) }$

(%i7)	df(2);

$3\leqno{(\%o7) }$

Как видно из приведенного результата, первая производная не изменяет знак в критической точке, что свидетельствует об отсутствии экстремума в ней.

Полученный результат иллюстрируется графиком исследуемой функции и её производных (см. рис. 3.6).

увеличить изображение
Рис. 3.6. Пример исследования функции

3.4.1.5 Схема исследования функции y = f(x) на экстремум

1. Найти производную y' = f'(x) .

2. Найти критические точки функции, в которых производная f'(x) = 0 или не существует.

3.1. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

 Или

3.2. Найти вторую производную f''(x) и определить ее знак в каждой критической точке.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример. Исследовать на экстремум функцию y = x(x - 1)^3 .

1. y' = (x - 1)^3 + 3x(x - 1)^2 = (x - 1)^2(4x - 1).

2. Критические точки x_1 = 1 и $x_2=\displaystyle{\frac{1}{4}}$ .

3. Изменение знака производной при переходе через точку x_1 не происходит, поэтому в этой точке нет экстремума.

y'' = 2(x - 1)(4x - 1) + 4(x - 1)^2 = 2[(x - 1)(6x - 3)] .

y''(x_2) > 0 , поэтому в этой точке наблюдается минимум функции y = x(x - 1)^3 .

4. $y_{min}=y\left(\displaystyle{\frac{1}{4}}\right)=-\displaystyle{\frac{27}{256}}$ .

Выполним тот же расчёт при помощи Maxima

(%i13)	f(x):=x*(x-1)^3;

$f\left( x\right) :=x\,{\left( x-1\right) }^{3}\leqno{(\%o13) }$

(%i14)	define(df(x),diff(f(x),x));

$df\left( x\right) :=3\,{\left( x-1\right) }^{2}\,x+{\left( x-1\right) }^{3}\leqno{(\%o14) }$

(%i15)	solve(df(x)=0,x);

$[x=\frac{1}{4},x=1]\leqno{(\%o15) }$

(%i16)	define(d2f(x),diff(df(x),x));

$d2f\left( x\right) :=6\,\left( x-1\right) \,x+6\,{\left( x-1\right) }^{2}\leqno{(\%o16) }$

(%i17)	map(d2f,%o15);

$[6\,\left( x-1\right) \,x+6\,{\left( x-1\right) }^{2}=\frac{9}{4},6\,\left( x-1\right) \,x+6\,{\left( x-1\right) }^{2}=0]\leqno{(\%o17) }$

В точке x = 1 вторая производная равна 0, поэтому вычисляем значения первой производной слева и справа от x = 1 :

(%i18)	df(2);

$7\leqno{(\%o18) }$

(%i19)	df(1/3);

$\frac{4}{27}\leqno{(\%o19) }$

Производная в окрестности точки x = 1 не меняет знак, поэтому экстремум у исследуемой функции один — точка $x=\frac{1}{4}$ . Так как $d2f(\frac{1}{4}) > 0,\ x=\frac{1}{4}$ — точка минимума. Иллюстрация полученного результата — на рис. 3.7.

увеличить изображение
Рис. 3.7. Пример исследования функции на экстремум

3.4.1.6 Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Наибольшее или наименьшее значение функции на некотором отрезке может достигаться как в точках экстремума, так и в точках на концах отрезка.

Пусть функция y = f(x) определена на некотором отрезке [a,b] .

Нахождение наибольших и наименьших значений функций происходит по следующей схеме.

1. Найти производную f'(x) .

2. Найти критические точки функции, в которых f'(x_0) = 0 или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее $f_{MAX}$ и наименьшее $f_{MIN}$ значения. Это и будут наибольшее и наименьшее значение функции на исследуемом отрезке.