НОУ ИНТУИТ | Учебный видеокурс | Математический анализ

Опубликован: 17.09.2013 | Уровень: для всех | Доступ: платный

Курс знакомит с числовыми множествами, последовательностями и функциями.

В начале курса даются основные понятия теории множеств, изучаются основные числовые множества, вводится понятие верхней и нижней грани. Вводится понятие числовой последовательности и её предела, изучаются вопросы сходимости. Далее даётся понятие функции, её предела в точке, в бесконечности. Изучаются свойства функций, имеющих предел. Рассматриваются бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Вводится понятие непрерывности функции, точки разрыва, их классификация. Изучаются свойства непрерывных функций. Также рассматривается геометрический смысл производной, даётся определение касательной, вопросы дифференцируемости функции, вычисляются производные сложной функции, обратной функции, основных элементарных функций. Вводятся понятия производной и дифференциала высших порядков и доказываются теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях. Рассматриваются вопросы раскрытия неопределённостей с помощью правила Лопиталя, формулы Тейлора и Маклорена. Даётся схема построения графика функции.

Цель: Подготовить студентов к изучению основных разделов математического анализа.

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Занятие	Заголовок <<	Дата изучения
	Экзамен экстерном	-
Лекция 1	Действительные числа и множества Вводится понятие множества. Даётся определение действительных чисел, модуля (абсолютной величины) и числовой прямой. Вводится понятие точной верхней и нижней грани множества. Оглавление Введение Множества Логические символы Понятие множества, его элемента Подмножество Равенство множеств A=B Примеры множеств, пустое множество Объединение множеств. Его свойства Пересечение множеств Его свойства Пример объединения и пересечения множеств Конечные и бесконечные множества Взаимно-однозначное соответствие между множествами Эквивалентные множества Счетные множества Действительные числа. Абсолютная величина Натуральные, рациональные, иррациональные числа Понятие действительного числа Абсолютная величина (модуль) Свойства модуля Числовая ось. Простейшие множества чисел Числовая прямая Отрезок, интервал, полуинтервал Окрестность точки, окрестность, проколотая окрестность Точная верхняя и точная нижняя грани Ограниченное сверху множество. Пример Ограниченное снизу множество. Пример Ограниченное множество Неограниченное сверху (снизу)множество. Примеры Верхняя грань. Точная верхняя грань множества Нижняя грань. Точная нижняя грань множества Теорема 1 о существовании точной верхней (точной нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества	-
Тест 1 48 минут	16 заданий	-
Лекция 2	Числовая последовательность и ее предел Дается определение числовой последовательности и её предела. Рассматривается геометрический смысл предела последовательности, доказываются единственность предела, арифметические свойства предела и предельные переходы в неравенствах. На примерах разбираются некоторые приёмы вычисления пределов. Оглавление Введение Числовая последовательность и ее предел Понятие числовой последовательности. Примеры Предел числовой последовательности Сходящаяся последовательность Предельная точка множества Предел и предельная точка последовательности (геометрический смысл предела) Количество элементов вне любой окрестности предела; Теорема о единственности предела (доказательство) Арифметические операции над сходящимися последовательностями Теорема об арифметических свойствах предела последовательности (доказательство для суммы) Теорема о пределе промежуточной последовательности (доказательство) Примеры вычисления пределов с помощью:определения предела; деления на большую степень; умножения на сопряженное	-
Тест 2 18 минут	6 заданий	-
Лекция 3	Сходимость числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие поcледовательности. Число е Изучаются вопросы сходимости последовательности. Вводится понятия ограниченной и монотонной последовательности. Дается определение бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, а также рассматриваются их свойства. Вводится число е. Оглавление Введение Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Ограниченная сверху (снизу) последовательность. Ограниченная последовательность. Примеры Неограниченная последовательность. Пример Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности Предел произведения бесконечно малой последовательности на ограниченную. Пример Связь между бесконечно большой и неограниченной последовательностями Сходимость числовой последовательности Теорема 4 об ограниченности сходящейся последовательности (доказательство) Пример ограниченной, но не сходящейся последовательности Невозрастающая (неубывающая) последовательность. Монотонная последовательность Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности (доказательство) Принцип вложенных отрезков Число е Теорема Больцано-Вейерштрасса и ее следствия Подпоследовательность Частичный предел Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании сходящейся подпоследовательности у ограниченной последовательности (доказательство) Следствия теоремы Больцано-Вейерштрасса Критерий Коши сходимости последовательности Теорема (критерий Коши). О сходимости последовательности Фундаментальная последовательность	-
Тест 3 42 минуты	14 заданий	-
Практическое занятие 1	Множества. Метод математической индукции Решаются задачи, связанные с понятием множества, подмножества, операций над множествами. Рассматриваются счётные множества. Определяются точные верхние и нижние грани множества. Решаются задачи, связанные с понятием действительного числа и его модуля. С помощью метода математической индукции доказываются некоторые утверждения. Оглавление Введение Действительные числа Задача 1 Задача 2 Модуль числа Задача 3 Задача 4 Множества Задача 5 Задача 6 Задача 7 Операции над множествами Задача 8 Подмножества Задача 9 Счетные множества Задача 10 Задача 11 Точные верхние и нижние грани Задача 12 Задача 13 Задача 14 Метод математической индукции Задача 15 Задача 16	-
Самостоятельная работа 1 57 минут	19 заданий	-
Контрольная работа 1 54 минуты	18 заданий	-
Практическое занятие 2	Числовая последовательность и ее предел Решаются задачи, связанные с понятием числовой последовательности и ее предела. Вычисляются пределы различных последовательностей, в том числе методами "деления на наибольшую степень" и "умножения на сопряженное". Рассматривается вопрос сходимости некоторых последовательностей. Оглавление Введение Определение числовой последовательности Задача 1 Задача 2 Определение предела последовательности Задача 3 Задача 4 Вычислить предел последовательности (отношение многочленов) Задача 5 Задача 6 Задача 7 Вычислить предел последовательности Задача 8 Задача 9 Задача 10 Задача 11 Задача 12 Задача 13 Задача 14 Задача 15 Сходимость последовательности Задача 16 Задача 17	-
Самостоятельная работа 2 51 минута	17 заданий	-
Контрольная работа 2 51 минута	17 заданий	-
Лекция 4	Функция. Предел функции в точке и бесконечности. Теоремы о пределах Вводится понятие функции, рассматриваются способы задания функций. Даются определения предела функции в точке по Коши и по Гейне и в терминах окрестностей. Доказываются теоремы о единственности предела, об ограниченности функции, имеющей предел , о переходе к пределу в неравенствах и пределе промежуточной функции. Даётся определение предела функции в бесконечности. Оглавление Введение Понятие функции. Способы задания функции Функция, область определения, множество значений Равные функции. Пример Примеры функций Аналитическое задание функции Графический способ здания функции. График функции Табличный способ задания функции Предел функции в точке Определение предела в точке по Коши Примеры вычисления пределов функций с помощью определения Геометрическая интерпретация определения предела Значение функции в точке и её предел в этой точке Определение предела в точке по Гейне Пример функции, не имеющей предел в точке Теоремы о пределах Теорема 1 о единственности предела (доказательство) Определение ограниченной в окрестности функции Теорема 2 об ограниченности функции, имеющей предел (доказательство) Теорема 3 о переходе к пределу в неравенстве Теорема 4 о пределе промежуточной функции Предел функции в бесконечности Определение предела функции в бесконечности Геометрическая интерпретация предела на бесконечности Пример функции, имеющей предел на бесконечности	-
Тест 4 21 минута	7 заданий	-
Лекция 5	Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Арифметические свойства пределов Вводится понятие бесконечно малых функций (б.м.ф.). Рассматриваются их свойства: сумма б.м.ф., произведение б.м.ф. на ограниченную и др. Доказываются арифметические свойства пределов. Вводится понятие бесконечно большой функции и устанавливается связь между б.б.ф. и б.м.ф. Оглавление Введение Бесконечно малые функции и их свойства Определение бесконечно малой функции в точке Определение бесконечно малой функции на бесконечности Примеры бесконечно малых функций Теорема 5 о сумме двух б.м.ф. (доказательство) Теорема 6 о произведении б.м.ф. на ограниченную (доказательство) Следствие о произведении б.м.ф. на функцию, имеющую конечный предел Лемма об ограниченности обратной функции Теорема 7 о частном б.м.ф. и функции, имеющей предел (доказательство) Теорема 8 о связи функции, имеющей предел, с её пределом и бесконечно малой функцией (доказательство) Арифметические операции над пределами Теорема 9 об арифметических свойствах предела (доказательство для произведения) Следствие о постоянном множителе и пределе Бесконечно большие функции Определение бесконечно большой функции Положительная и отрицательная б.б.ф Пример б.б.ф Теорема 10-11 о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций (доказательство) Односторонние пределы функции в точке Левосторонний и правосторонний пределы. Пример Теорема 12 о связи предела в точке с односторонними пределами (доказательство)	-
Тест 5 33 минуты	11 заданий	-
Лекция 6	Непрерывность функции. Основные элементарные функции. Замечательные пределы. Операции над непрерывными функциями Вводятся различные определения непрерывности функции в точке, устанавливается связь между ними. Изучаются локальные свойства непрерывных функций. Рассматриваются основные элементарные функции и доказывается их непрерывность на примере функции cos x. Вычисляются замечательные пределы и рассматриваются операции над непрерывными функциями. Вводится понятие сложной функции и изучается её непрерывность. Оглавление Введение Непрерывность функции Определение непрерывности с использованием предела Определение непрерывности на языке Приращение аргумента и функции Определение непрерывности через приращения аргумента и функции Определение непрерывности по Гейне Равносильность определений Теорема 13 о сохранении неравенства непрерывной функции (доказательство) Теорема 14 об устойчивости знака непрерывной функции Основные элементарные функции и их непрерывность Степенная функция Показательная функция Логарифмическая функция. Тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции Элементарные функции Непрерывность основных элементарных функций на примере y=cos x Замечательные пределы 1-й замечательный предел 2-й замечательный предел Операции над непрерывными функциями Теорема 15 о непрерывности суммы, разности, произведения и частного непрерывных функций (доказательство на примере частного) Сложная функция. Непрерывность сложной функции Теорема 16 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции (доказательство) Теорема 17 о непрерывности сложной функции (доказательство)	-
Тест 6 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 7	Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке Вводится понятие точек разрыва функции и даётся их классификация. Рассматривается непрерывность справа и слева, на интервале и на отрезке. Изучаются свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы о нуле функции, о промежуточных значениях, теоремы Вейерштрасса. Оглавление Введение Точки разрыва Определение точки разрыва. Устранимая точка разрыва. Пример Неустранимая точка разрыва Точка разрыва с конечным скачком. Пример Точки разрыва 1-го рода Точки разрыва 2-го рода. Примеры Непрерывность справа и слева Непрерывность на интервале и на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке Теорема 18Больцано-Коши о нуле функции (доказательство) Следствие для многочлена нечётной степени с действительными коэффициентами Теорема 19 Коши о промежуточных значениях непрерывной функции (доказательство) Теорема 20 (1-я теорема Вейерштрасса ) об ограниченности непрерывной на отрезке функции Теорема 21 (2-я теорема Вейерштрасса ) о достижении точной верхней и нижней грани непрерывной на отрезке функции Теорема 22 о достижении наименьшего и наибольшего значений непрерывной на отрезке функции	-
Тест 7 21 минута	7 заданий	-
Лекция 8	Равномерная непрерывность. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентность. Символы о и О Вводится понятие равномерной непрерывности и изучается ее связь с непрерывностью. Для бесконечно малых функций вводятся понятие порядка и эквивалентности. Доказываются теорема о замене бесконечно малых функций на эквивалентные и условие эквивалентности. Вводятся символы Ландау и изучаются асимптотические формулы. Оглавление Введение Равномерная непрерывность Определение равномерной непрерывности. Пример Примеры функций непрерывных, но не равномерно непрерывных на интервале. Теорема 23. Кантора о равномерной непрерывности на отрезке (доказательство) Сравнение бесконечно малых функций Бесконечно малые функции более высокого порядка. Пример Бесконечно малые функции одного порядка. Пример Несравнимые бесконечно малые функции. Пример Порядок малости. Пример Эквивалентные б.м.ф Свойства отношения эквивалентности Примеры эквивалентных б.м.ф Таблица эквивалентностей Главный степенной член функции Теорема 24 о замена б.м.ф. эквивалентными (доказательство) Теорема 25 об условии эквивалентности Символы о и О Определение о-малое. Примеры Определение О-большое. Примеры Формулы для о-малое и О-большое Асимптотические формулы	-
Тест 8 30 минут	10 заданий	-
Практическое занятие 3	Предел функции Доказывается существование предела функции с помощью определения Коши. Вычисляются пределы функций, применяя теорему об арифметических свойствах предела. Раскрываются неопределенности с помощью разложения на множители, деления на наибольшую степень, умножения на сопряженное выражение, введения новой переменной. Решаются задачи с использованием замечательных пределов. Оглавление Введение Определение предела функции Задача 1 Вычислить предел функции с помощью разложения на множители или деления на наибольшую степень Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Вычислить предел функции с помощью умножения на сопряжённое выражение и замены переменных Задача 7 Задача 8 Задача 9 Вычислить предел функции, используя замечательные пределы Задача 10 Задача 11 Задача 12 Задача 13 Задача 14 Задача 15	-
Практическое занятие 1 45 минут	15 заданий	-
Контрольная работа 3 45 минут	15 заданий	-
Практическая работа	Предел функции. Замечательные пределы Вычисляются пределы степенно-показательных функций, пределы на бесконечности. При решении используются замечательные пределы и теорема о замене бесконечно малых функций на эквивалентные. Оглавление Введение Вычислить предел степенно-показательной функции Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Вычислить предел функции на бесконечности Задача 7 Задача 8	-
Самостоятельная работа 3 24 минуты	8 заданий	-
Контрольная работа 4 24 минуты	8 заданий	-
Практическое занятие 4	Сравнение бесконечно малых функций. Асимптотические формулы Определяется порядок бесконечно малых функций. Доказывается эквивалентность бесконечно малых функций. Вычисляются пределы функций с помощью асимптотических формул. Оглавление Введение Порядок малости Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Эквивалентность бесконечно малых функций Задача 5 Задача 6 Задача 7 Асимптотические формулы при вычислении пределов Задача 8 Задача 9	-
Самостоятельная работа 4 27 минут	9 заданий	-
Контрольная работа 5 27 минут	9 заданий	-
Практическое занятие 5	Непрерывность, точки разрыва. Решение уравнений и неравенств Доказывается непрерывность функций, используя различные определения. Исследуются функции на непрерывность, определяются точки разрыва и их характер. Решаются задачи о нахождении корней уравнения с помощью теоремы Больцано-Коши. Методом интервалов решаются неравенства. Оглавление Введение Определение непрерывности Задача 1 Непрерывность и точки разрыва, их характер Задача 2 Доопределить функцию в точке до непрерывной Задача 3 Решение уравнений и неравенств Задача 4 Задача 5 Задача 6 Построить график функции (точки разрыва) Задача 7	-
Практическое занятие 2 21 минута	7 заданий	-
Контрольная работа 6 21 минута	7 заданий	-
Лекция 9	Производная. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Вводится понятие производной функции в точке, рассматривается её геометрический и физический смысл. Даются определение касательной и нормали к кривой и выводятся их уравнения. Понятия правой и левой производной функции в точке, бесконечной производной, гладкой функции рассматриваются на примерах. Вводится понятие дифференцируемой в точке функции, рассматривается связь дифференцируемости и существования производной. Доказывается непрерывность дифференцируемой функции. Даётся определение дифференциала функции и рассматривается его геометрический смысл. Оглавление Введение Производная Определение производной Приращение функции и аргумента Производная в точке Вычисление производной функции по определению Производная на интервале Геометрический смысл производной Касательная к кривой в точке Уравнение касательной и нормали. Пример Механический смысл производной Правая и левая производная Связь на примерах между односторонними производными и производной в точке Бесконечные производные. Пример Гладкая функция и кривая Угловая точка. Полукасательные Вертикальные касательные Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Дифференцируемая в точке функция. Пример Теорема 1 о критерии дифференцируемости функции (доказательство) Теорема 2 о непрерывности дифференцируемой функции (доказательство) Примеры функций непрерывных в точке, но не дифференцируемых Дифференциал функции Дифференцируемость на интервале Геометрический смысл дифференциала	-
Тест 9 30 минут	10 заданий	-
Лекция 10	Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные некоторых основных элементарных функций. Дифференцирование сложной функции Даются правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Вычисляются производные функций Доказывается правило дифференцирования сложной функции и рассматривается инвариантность формы дифференциала. Оглавление Введение Дифференцирование суммы, произведения и частного Производная суммы, разности, произведения и частного двух дифференцируемых функций (доказательство на примере произведения) Пример вычисления производной частного двух функций Следствие о выносе постоянного множителя за знак производной Следствие для производной суммы и произведения конечного числа функций Существенность условий теоремы Производные некоторых основных элементарных функций Производная показательной функции Производная логарифмической функции Производная степенной функции Производные тригонометрических функций Дифференцирование сложной функции Теорема 3 о дифференцирование сложной функции (доказательство) Примеры вычисления производной сложной функции Инвариантность формы дифференциал	-
Тест 10 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 11	Понятие обратной функции. Производная обратной функции. Производные гиперболических функций. Логарифмическое дифференцирование. Применение дифференциалов в приближённых вычислениях Вводится понятие обратной функции и формулируется правило её дифференцирования. Вычисляются производные функций , а также гиперболических функций. Составляется таблица производных основных элементарных функций. Рассматривается приём логарифмического дифференцирования для отыскания производной сложной функции. Выводится формула для приближённого вычисления значения функции. Оглавление Введение Понятие обратной функции Обратная функция. Взаимно обратные функции. Примеры Возрастающая (убывающая) функция Теорема 4 о существовании обратной функции Теорема 5 о производной обратной функции (доказательство) Производные обратных тригонометрических функций Производные гиперболических функций Логарифмическое дифференцирование Производная степенно-показательной функции. Пример Применение дифференциалов в приближённых вычислениях Формула для приближенного вычисления	-
Тест 11 21 минута	7 заданий	-
Лекция 12	Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Вектор-функция скалярного аргумента Вводится понятие производной высшего порядка, определяются правила вычисления производных суммы и произведения функций. Даётся определение дифференциала высшего порядка и выводится его связь с производными. Рассматриваются функции, заданные параметрически, изучается вопрос их дифференцирования. Вводится понятие вектор-функции скалярного аргумента, её предела и непрерывности. Рассматривается производная вектор-функции по её аргументу. Формулируются правила дифференцирования. Оглавление Введение Производные высших порядков Производная n-го порядка. Примеры вычисления Бесконечно дифференцируемая функция. Примеры Механический смысл 2-й производной Производные высших порядков суммы и произведения функций. Пример Производная второго порядка для взаимно обратных функций Дифференциалы высших порядков Дифференциал n-го порядка Формула дифференциала n-го порядка через производную n-го порядка Вопрос об инвариантности формы дифференциала 2-го порядка Дифференцирование функции, заданной параметрически Плоская кривая, заданная параметрически. Пример Вывод формулы для производной функции, заданной параметрически Пример вычисления производной Вывод формулы для вычисления производной 2-го порядка функции, заданной параметрически Формула для производной n-го порядка функции, заданной параметрически. Пример Вектор-функция скалярного аргумента Определение вектор-функции скалярного аргумента Годограф вектор-функции. Векторное уравнение кривой. Параметрические уравнения кривой. Пример Предел вектор-функции Геометрический смысл предела вектор-функции Непрерывная вектор-функция Производная вектор-функции по её скалярному аргументу Определение производной вектор-функции. Дифференцируемая вектор-функция Направление производной вектор-функции Вывод формулы для вычисления производной вектор-функции Правила дифференцирования вектор-функции Производная постоянного вектора Производная суммы и разности Производная скалярного произведения векторов Производная векторного произведения векторов	-
Тест 12 24 минуты	8 заданий	-
Практическое занятие 6	Производная. Правила и формулы дифференцирования Вычисляются производные функций по определению. Вычисляются производные функций с помощью арифметических правил и таблицы производных элементарных функций. Вычисляются производные сложных функций. Оглавление Введение Производная (определение) Задача 1 Правила (арифметические) и формулы дифференцирования Задача 2 Дифференцирование сложной функции Задача 3	-
Самостоятельная работа 5 42 минуты	14 заданий	-
Контрольная работа 7 42 минуты	14 заданий	-
Практическое занятие 7	Правила и формулы дифференцирования. Геометрический и физический смысл производной Вычисляются производные степенно-показательных функций. Строятся касательные и нормали к графикам функции в точках, находится угол пересечения между кривыми. Решаются задачи, связанные со скоростью. Оглавление Введение Логарифмическое дифференцирование Геометрический смысл производной Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Физический смысл производной Задача 6 Задача 7 Задача 8	-
Самостоятельная работа 6 24 минуты	8 заданий	-
Контрольная работа 8 24 минуты	8 заданий	-
Практическое занятие 8	Дифференцируемые функции и дифференциал. Приближенное вычисление значений функций Вычисляется дифференциал различных функций. С помощью дифференциала вычисляются приближённые значения функции. Оглавление Введение Дифференциал функции Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Вычисление приближённых значений с помощью дифференциала Задача 5 Задача 6 Задача 7	-
Самостоятельная работа 7 33 минуты	11 заданий	-
Контрольная работа 9 33 минуты	11 заданий	-
Практическое занятие 9	Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производная вектор-функции. Производные и дифференциалы высших порядков Вычисляются производные функций, заданных параметрически и производные вектор-функций. Вычисляются производные и дифференциалы высшего порядка для различных функций, в том числе для заданных параметрически. Оглавление Введение Производная функции, заданной параметрически Задача 1 Задача 2 Производная вектор-функции Задача 3 Производные высшего порядка Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Производная второго порядка функции, заданной параметрически Задача 5 Физический смысл производной второго порядка Задача 6 Дифференциал высшего порядка Задача 7	-
Практическое занятие 3 30 минут	10 заданий	-
Контрольная работа 10 30 минут	10 заданий	-
Лекция 13	Теоремы о среднем значении Формулируются и доказываются теоремы Роля, Лагранжа и Коши. Рассматриваются их взаимосвязь. Дается геометрическая интерпретация теорем Роля и Лагранжа. Оглавление Введение Теорема 1 Ролля (доказательство) Геометрическая интерпретация теоремы Ролля Существенность условий теоремы Роля на примерах Теорема 2 Лагранжа о конечных приращениях (доказательство) Связь теоремы Ролля и Лагранжа Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа Формула Лагранжа (формула конечных приращений) Пример применения теоремы Лагранжа Теорема 3 Коши (доказательство) Связь теорем Ролля, Лагранжа, Коши	-
Тест 13 21 минута	7 заданий	-
Лекция 14	Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) Рассматриваются неопределенности при вычислении пределов, формулируется и доказывается правило Лопиталя для их раскрытия. Рассматривается применение правила Лопиталя при неопределtнностях. Рассматриваются конкретные примеры вычисления пределов. Оглавление Введение Виды неопределенностей Теорема 4 правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 (доказательство) Пример раскрытия неопределенности 0/0 Замечание о существовании пределов отношения функций и производных. На примере Многократное применение правила Лопиталя Теорема 5 (2-е правило Лопиталя) Односторонние пределы и правило Лопиталя Теорема 6 раскрытие неопределенностей. Пример	-
Тест 14 18 минут	6 заданий	-
Лекция 15	Формула Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций Выводится формула Тейлора для многочлена степени n, дается определение формулы Маклорена для многочлена. Вводится понятия формулы Тейлора для функции и вычисляется остаточный член в форме Лагранжа. Рассматривается остаточный член в форме Пеано. Раскладываются по формуле Маклорена некоторые элементарные функции. Получение асимптотических оценок для элементарных функций из формулы Маклорена. Оглавление Введение Вывод формулы Тейлора для многочлена степени n Формула Тейлора и формула Маклорена для многочлена степени n Пример разложения многочлена по степеням x, x-1 Многочлен Тейлора для функции y=f(x) Формула Тейлора для функции y=f(x) с остаточным членом Вычисление остаточного члена формулы Тейлора Формула Тейлора для функции y=f(x) с остаточным членом в форме Лагранжа Связь формулы Тейлора и формулы Лагранжа Формула Маклорена для функции y=f(x) Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций Использование формулы Маклорена для получения асимптотических оценок элементарных функций и вычисления пределов	-
Тест 15 18 минут	6 заданий	-
Практическое занятие 10	Теоремы о среднем. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей Решаются задачи на применение теорем Роля, Лагранжа и Коши. С помощью правила Лопиталя раскрытия неопределенностей вычисляются пределы. Оглавление Введение Теоремы о среднем Ролля, Лагранжа и Коши Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей Задача 5 Задача 6 Задача 7 Задача 8 Задача 9 Задача 10 Задача 11 Задача 12 Задача 13 Задача 14 Задача 15	-
Самостоятельная работа 8 36 минут	12 заданий	-
Контрольная работа 11 36 минут	12 заданий	-
Практическое занятие 11	Формула Тейлора Раскладываются функции по формуле Тейлора и Маклорена. С помощью разложений Тейлора вычисляются приближённые значения. Используя основные разложения, вычисляются пределы. Оглавление Введение Разложения многочлена по формуле Тейлора Задача 1 Задача 2 Разложение функций по формуле Тейлора и Маклорена Задача 3 Задача 4 Задача 5 Приближенные вычисления с помощью разложения Тейлора Задача 6 Задача 7 Асимптотические оценки элементарных функций при вычислении пределов Задача 8 Задача 9	-
Самостоятельная работа 9 30 минут	10 заданий	-
Контрольная работа 12 30 минут	10 заданий	-
Лекция 16	Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции Дается определение монотонной функции и доказывается связь между интервалами знакопостоянства производной и монотонности функции. Изучаются достаточные условие возрастания функции в точке. Вводятся понятия локального экстремума, максимума и минимума. Рассматриваются необходимое и достаточное условия эстремума Проводится исследование функций на максимум и минимум при помощи второй производной. Оглавление Введение Признаки возрастания и убывания функции Невозрастающая, неубывающая функции Монотонная, строго монотонная функция Теорема 1 - критерий для неубывающей функции (доказательство) Теорема 2 - критерий для невозрастающей функции Связь интервалов знакопостоянства производной и монотонности функции Достаточное условие возрастания функции Возрастающая (убывающая) в точке функция Теорема 3 – достаточные условия возрастания и убывания функции в точке (доказательство) Экстремум функции Точка локального максимума (минимума) функции Локальный максимум (минимум) функции. Локальные экстремумы Точка строгого максимума (минимума) Пример разрывной функции с локальным экстремумом Теорема 4 - необходимое условие экстремума (доказательство) Геометрическая интерпретация теоремы 4 Критическая точка функции Связь между критическими точками и точками экстремума Теорема 5 - достаточное условие максимума (доказательство) Теорема 6 - достаточное условие минимума Существенность условий теоремы 5 и 6 на примере Правило 1 (отыскание экстремума функции) Пример исследования функции на экстремум Теорема 7 - исследование функций на максимум и минимум при помощи второй производной Правило 2 (отыскание экстремума функции). Пример	-
Тест 16 30 минут	10 заданий	-
Лекция 17	Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба кривой Решается задача нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. Вводятся понятия выпуклости вверх и вниз, точки перегиба кривой. Доказываются необходимое и достаточное условия точки перегиба. Оглавление Введение Выпуклость кривой, направленная вниз (вверх) Выпуклость на интервале Точка перегиба кривой Аналитический способ определения направления выпуклости Теорема 8 – необходимое условие точки перегиба Теорема 9 – достаточный признак точки перегиба (доказательство)	-
Тест 17 18 минут	6 заданий	-
Лекция 18	Асимптоты графика функции Даются определение асимптот: вертикальной, наклонной и горизонтальной. Доказываются формулы для вычисления коэффициентов наклонной асимптоты. Приводится схема построения графика функции. Оглавление Введение Асимптота кривой Вертикальные асимптоты. Пример Правило нахождения вертикальных асимптот Наклонные асимптоты Теорема 10 – формулы для нахождения наклонных асимптот (доказательство) Примеры нахождения наклонной асимптоты Горизонтальная асимптота. Примеры Схема построения графика функции	-
Тест 18 27 минут	9 заданий	-
Лекция 19	Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Проводится исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Формулируется достаточное условие точки перегиба с помощью производных высшего порядка. Рассматривается метод хорд и касательных для решения уравнения. Оглавление Введение Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Теорема 11 - связь экстремума функции и производных высшего порядка (доказательство) Пример применения теоремы Теорема 12 – точка перегиба и производные высшего порядка Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Условия для существования единственного корня уравнения Принцип метода хорд и касательных Вывод формул для вычисления приближений Последовательность приближений корня уравнения Пример решения уравнения методом хорд и касательных	-
Тест 19 15 минут	5 заданий	-
Практическое занятие 12	Монотонность функции. Локальные экстремумы Решаются задачи на нахождение интервалов возрастания и убывания функций. Проводится исследование функций на экстремум. Оглавление Введение Условия постоянства функции Задача 1 Условия монотонности функции Задача 2 Задача 3 Локальные экстремумы Задача 4 Задача 5 Задача 6 Задача 7 Задача 8 Задача 9	-
Самостоятельная работа 10 54 минуты	18 заданий	-
Контрольная работа 13 54 минуты	18 заданий	-
Практическое занятие 13	Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба кривой. Асимптоты графика функции Применяется правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Решаются прикладные задачи. Определяются интервалы выпуклости и точки перегиба. Строятся асимптоты для графиков функций. Оглавление Введение Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке Задача 1 Решение прикладных задач Задача 2 Задача 3 Направление выпуклости и точки перегиба кривой Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Асимптоты графика функции Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4	-
Самостоятельная работа 11 39 минут	13 заданий	-
Контрольная работа 14 39 минут	13 заданий	-
Практическое занятие 14	Построение графиков функции Проводится полное исследование функций и строятся их графики. Оглавление Введение Исследовать функции и построить их графики Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5	-
Самостоятельная работа 12 30 минут	10 заданий	-
Контрольная работа 15 30 минут	10 заданий	-
5 часов	Экзамен	-

Авторизоваться

Математический анализ - 1

Математический анализ - 1

План занятий