НОУ ИНТУИТ | Введение в алгебру. Лекция 1: Основные алгебраические структуры и операции

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Произведение отображений

Определение 1.6.1.

Для диаграммы отображений

$U\xrightarrow{f} V \xrightarrow{g} W$

определим произведение (иногда называемое композицией или суперпозицией) h=gf

отображений

и

следующим образом:

$h=gf: U\to W,\quad h(u)=g(f(u))$

для $u\in U$ .

Замечание 1.6.2.

Не любые два отображения можно перемножить!

Примеры 1.6.3.

Если $1_U: U\to U$ - тождественное отображение множества U, $1_V: V\to V$ - тождественное отображение множества V, $f: U\to V$ , то f1_U=f=1_Vf.
Если $f: \{1,2,...,n\}\to \{1,2,...,n\}$ , f(k)=k+1 для $1 \le k<n$ , f(n)=1, то fⁿ=1_U, где U={1,2,...,n}.

Теорема 1.6.4 (об ассоциативности произведения отображений).

Для диаграммы отображений $U\xrightarrow{f} V \xrightarrow{g} W \xrightarrow{h} Z$ имеем h(gf)=(hg)f.

Доказательство. Ясно, что

$h(gf): U\to Z,\quad (hg)f: U\to Z.$

Для любого $u\in U$ имеем (h(gf))(u)=h((gf)(u))=h(g(f(u))), ((hg)f)(u)=(hg)(f(u))=h(g(f(u))), таким образом, (h(gf))(u)=((hg)f)(u) для всех $u\in U$ , следовательно, h(gf)=(hg)f.

Моноид отображений множества

Пусть U - множество, $T(U)=\{f: U\to U\}$ - совокупность всевозможных отображений с операцией произведения отображений. В силу доказанной теоремы 1.6.4 эта операция ассоциативна. Нейтральным элементом относительно этой операции является тождественное отображение 1_U. Итак, T(U) - полугруппа с единицей, т. е. моноид.