НОУ ИНТУИТ | Основы дискретной математики. Лекция 3: Булевы функции и их представления

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.08.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно | ВУЗ: Тверской государственный университет

Вам нравится? Нравится 37 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Булевы функции от 1-ой и 2-х переменных

Представим вначале в табличном виде все булевы функции от 1-ой переменной. Как мы знаем, их всего четыре.

Таблица 3.2. Булевы функции от 1-ой переменной
x₁	f₁	f₂	f₃	f₄
0	0	1	0	1
1	0	1	1	0

В этой таблице представлены следующие функции:

f₁(x₁)= 0 - константа 0;
f₂(x₁)= 1 - константа 1;
f₃(x₁)= x₁ - тождественная функция;
$f_{4}(x_{1})= \neg x_{1}$ - отрицание x₁ (используется также обозначение x ₁ , а в языках программирования эта функция часто обозначается как NOTx₁ ).

В следующей таблице представлены все 16 функций от 2-х переменных.

Таблица 3.3. Булевы функции от 2-х переменных
x₁	x₂	f₂	f₃	f₄	f₅	f₆	f₇	f₈	f₉	f₁₀	f₁₁	f₁₂	f₁₃	f₁₄	f₁₅	f₁₆
0	0	1	0	1	0	1	0	0	1	0	1	1	1	0	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0	1	1	1	0	1	0	1	0	0
1	0	1	1	0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	0	1	1
1	1	1	1	0	1	0	1	1	1	0	1	0	0	0	0	1

Многие из этих функций часто используются в качестве "элементарных" и имеют собственные обозначения.

f₁(x₁,x₂)= 0 - константа 0;
f₂(x₁,x₂)= 1 - константа 1;
f₃(x₁,x₂)= x₁ - функция, равная 1-му аргументу ;
$f_{4}(x_{1},x_{2})= \neg x_{1}$ - отрицание x₁ ;
f₅(x₁,x₂)= x₂ - функция, равная 2-му аргументу ;
$f_{6}(x_{1},x_{2})= \neg x_{2}$ - отрицание x₂ ;
$f_{7}(x_{1},x_{2})= (x_{1} \wedge x_{2})$ - конъюнкция, читается " x₁ и x₂ " (используются также обозначения (x₁ & x₂) , (x₁x₂) , min(x₁,x₂) и (x₁ AND x₂) );
$f_{8}(x_{1},x_{2})= (x_{1} \vee x_{2})$ - дизъюнкция, читается " x₁ или x₂ " (используются также обозначения $(x_{1} \vee x_{2})$ , (x₁ + x₂) , max(x₁,x₂) и (x₁ OR x₂) );
f₉(x₁,x₂)= (x₁ -> x₂) - импликация, читается " x_1 влечет x_2 " или "из x₁ следует x₂ " (используются также обозначения ( $x_{1} \supset x_{2}$ ), и ( IF x₁ THEN x₂ ));
f₁₀(x₁,x₂)= (x₁ + x₂) - сложение по модулю 2, читается " x₁ плюс x₂ " (используется также обозначение $(x_{1} \oplus x_{2})$ );
f₁₁(x₁,x₂)= (x₁ ~ x₂) - эквивалентность, читается " x₁ эквивалентно (равносильно) x₂ " (используется также обозначение $(x_{1} \equiv x_{2})$ );
f₁₂(x₁,x₂)= (x₁ | x₂) - штрих Шеффера (антиконъюнкция), иногда читается как "не x₁ и x₂ ";
$f_{13}(x_{1},x_{2})= (x_{1} \downarrow x_{2})$ - стрелка Пирса (антидизъюнкция), иногда читается как "не x₁ или x₂ ".

В качестве элементарных функций будем также рассматривать 0-местные функции-константы 0 и 1.

Отметим, что функции f₁(x₁,x₂) и f₂(x₁,x₂) фактически не зависят от значений обоих аргументов, функции f₃(x₁,x₂) и f₄(x₁,x₂) не зависят от значений аргумента x₂, а функции f₅(x₁,x₂) и f₆(x₁,x₂) не зависят от значений аргумента x₁.

Определение 3.1. Функция f(x₁,..., x_i,..., x_n) не зависит от аргумента x_i, если для любого набора значений $\sigma _{1},\dots ,\sigma _{i-1}> \sigma _{i+1},\dots , \sigma _{n}$ остальных аргументов f имеет место равенство

$f(\sigma_1,\ldots,\sigma_{i-1},0,\sigma_{i+1},\ldots, \sigma_n)= f(\sigma_1, \ldots,\sigma_{i-1},1,\sigma_{i+1},\ldots, \sigma_n)$

Такой аргумент x_i называется фиктивным. Аргументы, не являющиеся фиктивными, называются существенными.

Функции f₁(x₁,..., x_n) и f₂(x₁,...,x_m) называются равными, если функцию f₂ можно получить из функции f₁ путем добавления и удаления фиктивных аргументов.

Например, равными являются одноместная функция f₃(x₁) и двухместная функция f₃(x₁,x₂) , так как вторая получается из первой добавлением фиктивного аргумента x₂ . Мы не будем различать равные функции и, как правило, будем использовать для обозначения равных функций одно и то же имя функции. В частности, это позволяет считать, что во всяком конечном множестве функций все функции зависят от одного и того же множества переменных.

Формулы

Как мы видели, геометрическое и табличное представления булевых функций подходят лишь для функций с небольшим числом аргументов. Формулы позволяют удобно представлять многие функции от большего числа аргументов и оперировать различными представлениями одной и той же функции.

Пусть $\codecal{B}$ - некоторое (конечное или бесконечное) множество булевых функций. Зафиксируем некоторое счетное множество переменных V={X₁, X₂, ...} . Определим по индукции множество формул над $\codecal{B}$ с переменными из V. Одновременно будем определять числовую характеристику $dep(\Phi )$ формулы $\Phi,$ называемую ее глубиной, и множество ее подформул.

Определение 3.2.

Базис индукции. Каждая переменная $X_{i} \in V$ и каждая константа $c \in$ $\codecal{B}$ является формулой глубины 0, т.е. dep(X_i)= dep(c)=0 . Множество ее подформул состоит из нее самой.
Шаг индукции. Пусть $f(x_1,\ldots , x_m) \in \codecal{B}$ и A₁, ... , A_m - формулы, и max {dep(A_i) | i = 1,..., m} = k . Тогда выражение $\Phi = f(A_{1},\dots , A_{m})$ является формулой, ее глубина $dep(\Phi )$ равна k+1, а множество подформул $\Phi$ включает саму формулу $\Phi$ и все подформулы формул A₁, ..., A_m.

Каждой формуле $\Phi (X_{1},\dots , X_{n})$ сопоставим булеву функцию, которую эта формула задает, используя индукцию по глубине формулы.

Базис индукции. Пусть $dep(\Phi )=0$ . Тогда $\Phi = X_{i} \in V$ или $\Phi =c \in$ $\codecal{B}$ . В первом случае $\Phi$ задает функцию $f_{\Phi }(X_{i})=X_{i}$ , во втором - функцию, тождественно равную константе c.

Шаг индукции. Пусть $\Phi$ - произвольная формула глубины $dep(\Phi )= k+1$ . Тогда $\Phi (X_{1},\dots , X_{n})= f_{i}(A_{1},\dots , A\_ m)$ , где $f_{i} \in$ $\codecal{B}$ и A₁, ..., A_m - формулы, для которых max_{1 <= i <= m}{dep(A_i)}=k . Предположим (по индукции), что этим формулам уже сопоставлены функции g₁(X₁,..., X_n), ... , g_m(X₁,..., X_n) . Тогда формула $\Phi$ задает функцию $f_{\Phi }(X_{1},\dots , X_{n}) = f_{i}(g_{1}(X_{1},\dots , X_{n}), \dots , g_{m}(X_{1},\dots , X_{n}))$ .

Далее мы будем рассматривать формулы над множеством элементарных функций $\codecal{B}_e=\{ 0, 1, \neg, \wedge, \vee, \rightarrow, +, \sim,\ |, \downarrow \}$ . Все эти функции, кроме констант, называются логическими связками или логическими операциями. При этом для 2-местных функций из этого списка будем использовать инфиксную запись, в которой имя логической связки помещается между 1-ым и 2-ым аргументами. Тогда определение формулы над $\codecal{B}_e$ имеет следующий вид.

Определение 3.3.

Базис индукции. 0, 1 и каждая переменная $X_{i} \in V$ являются формулами глубины 0.
Шаг индукции. Пусть $\Phi _{1}$ и $\Phi _{2}$ - формулы, $\hat{} \in \{ \wedge , \vee , \to , +, \sim, |, \downarrow \}$ .

Тогда выражения $\neg \Phi _{1}$ и $(\Phi _{1} \hat{} \Phi _{2})$ являются формулами. При этом $dep(\neg \Phi _{1})=1 + dep( \Phi _{1})$ , а $dep((\Phi _{1} \hat{} \Phi _{2}))= 1 + max \{ dep(\Phi _{1}), dep(\Phi _{2})\}$ .

В соответствии с этим определением выражения $\Phi _{1}(X_{1},X_{2}) = \neg (X_{1} \wedge \neg X_{2})$ и $\Phi _{2}(X_{1},X_{2},X_{3}) = ( (X_{1} \vee \neg \neg X_{2})\to$ $(X_{3} \sim (X_{1} \downarrow \neg X_{2})))$ являются формулами. Глубина $\Phi _{1}$ равна 3, а глубина $\Phi _{2}$ равна 4. Выражения же $\neg X_{1} +( \neg X_{2} \vee X_{3})$ , $(X_{1} \neg \wedge X_{2})$ и (X₁ + X₂ + X₃) формулами не являются (почему?).

Для определения функции, задаваемой формулой, удобно использовать таблицу, строки которой сответствуют наборам значений переменных, а в столбце под знаком каждой логической связки стоят значения функции, задаваемой соответствующей подформулой. Например, для формулы $\Phi _{2}$ функция $f_{\Phi 2}$ задается выделенным столбцом $\to$ следующей таблицы.

Таблица 3.4. Функция $f_{ \Phi 2 }$
X₁	X₂	X₃	((X₁	$\vee$	$\neg$	$\neg$	X₂)	$\to$	(X₃	~	(X₁	$\downarrow$	$\neg$	X₂)))
0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0	1
0	1	0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1	1	1	1	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	1	0	1	0
1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1	0	1	1	0	1	1	0	0	1
1	1	1	1	1	1	0	1	0	1	0	1	0	0	1

Дальше >>

Основы дискретной математики

Булевы функции и их представления

Булевы функции от 1-ой и 2-х переменных

Формулы

Вопросы и ответы

Студенты

x₁	x₂	f₂	f₃	f₄	f₅	f₆	f₇	f₈	f₉	f₁₀	f₁₁	f₁₂	f₁₃	f₁₄	f₁₅	f₁₆
0	0	1	0	1	0	1	0	0	1	0	1	1	1	0	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0	1	1	1	0	1	0	1	0	0
1	0	1	1	0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	0	1	1
1	1	1	1	0	1	0	1	1	1	0	1	0	0	0	0	1

X₁	X₂	X₃	((X₁	$\vee$	$\neg$	$\neg$	X₂)	$\to$	(X₃	~	(X₁	$\downarrow$	$\neg$	X₂)))
0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0	1
0	1	0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1	1	1	1	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	1	0	1	0
1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1	0	1	1	0	1	1	0	0	1
1	1	1	1	1	1	0	1	0	1	0	1	0	0	1

x₁	x₂	f₂	f₃	f₄	f₅	f₆	f₇	f₈	f₉	f₁₀	f₁₁	f₁₂	f₁₃	f₁₄	f₁₅	f₁₆
0	0	1	0	1	0	1	0	0	1	0	1	1	1	0	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0	1	1	1	0	1	0	1	0	0
1	0	1	1	0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	0	1	1
1	1	1	1	0	1	0	1	1	1	0	1	0	0	0	0	1

X₁	X₂	X₃	((X₁	$\vee$	$\neg$	$\neg$	X₂)	$\to$	(X₃	~	(X₁	$\downarrow$	$\neg$	X₂)))
0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0	1
0	1	0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1	1	1	1	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	1	0	1	0
1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1	0	1	1	0	1	1	0	0	1
1	1	1	1	1	1	0	1	0	1	0	1	0	0	1

Авторизоваться

Основы дискретной математики

Булевы функции и их представления

Булевы функции от 1-ой и 2-х переменных

Формулы

Вопросы и ответы

Студенты

x₁	x₂	f₂	f₃	f₄	f₅	f₆	f₇	f₈	f₉	f₁₀	f₁₁	f₁₂	f₁₃	f₁₄	f₁₅	f₁₆
0	0	1	0	1	0	1	0	0	1	0	1	1	1	0	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0	1	1	1	0	1	0	1	0	0
1	0	1	1	0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	0	1	1
1	1	1	1	0	1	0	1	1	1	0	1	0	0	0	0	1

X₁	X₂	X₃	((X₁	$\vee$	$\neg$	$\neg$	X₂)	$\to$	(X₃	~	(X₁	$\downarrow$	$\neg$	X₂)))
0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0	1
0	1	0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	1	1	1	1	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1	0	1	0	1	1	0	1	0
1	0	1	1	1	0	1	0	0	1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1	0	1	1	0	1	1	0	0	1
1	1	1	1	1	1	0	1	0	1	0	1	0	0	1