Логические основы ЭВМ

Логические схемы

Составление таблиц истинности для логических схем

Для логических схем, представляющих собой соединение нескольких логических элементов, в левой части таблицы перечисляются все возможные комбинации входных сигналов, а в правой части - соответствующие значения на выходе логической схемы. Очевидно, что левые части таблицы будут одинаковыми для всех функций двух переменных, для всех функций трёх переменных и т.д. Традиционно комбинации сигналов в них располагают в порядке возрастания соответствующих двоичных кодов. На рис. 1.6 приведен пример логической схемы и таблица истинности, полностью описывающая ее работу.

Рис. 1.6. Логическая схема и соответствующая ей таблица истинности

Вероятность ошибки уменьшается, если не решать задачу "в лоб", а проанализировать её работу с точки зрения уже известных нам правил логического сложения, умножения и инверсии. Очевидно, что в рассматриваемой схеме осуществляется логическое сложение нескольких логических произведений [3]. Можно записать логическое выражение, соответствующее данной схеме:

( 1.1)

Булево выражение в виде суммы произведений называется дизъюнктивно нормальной формой (ДНФ).

Булево выражение в виде произведения сумм называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

По правилу логического сложения выражение (1.1) имеет на выходе логическую 1 только в том случае, если равно 1 хотя бы одно из четырех произведений, входящих в сумму. По правилу логического умножения каждое произведение будет равно 1 только в том случае, когда все входящие в произведение переменные равны 1. Рассмотрим все эти возможности отдельно и по порядку.

• Произведение будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и , и . При этом от значений остальных входных переменных - и - значение данного произведения не зависит. Поэтому логические 1 будут в строках, соответствующих полным произведениям , в которых , а переменные и перечисляются во всех четырех возможных комбинациях: , , и .
• Произведение будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и (т.е. ), и , и . От значения не вошедшей в данное произведение переменной произведение не зависит. Поэтому логические 1 будут в строках таблицы истинности, соответствующих полным произведениям , в которых и одновременно , а переменная перечисляется во всех двух возможных комбинациях: .
• Произведение будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и (т.е. ), и , и . От значения не вошедшей в данное произведение переменной произведение не зависит. Поэтому логические 1 будут в строках таблицы истинности, соответствующих полным произведениям , в которых и одновременно , а переменная перечисляется во всех двух возможных комбинациях: .
• Произведение будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и (т.е. ), (т.е. ), и и . Поэтому логическая 1, соответствующая данному полному произведению всех переменных, будет только в той строке таблицы истинности, где .

Анализ всех этих возможностей показывает, что они могут совпадать для нескольких произведений. Например, комбинация входных переменных 0011 встречается в произведениях и . А сочетание встречается даже в трех произведениях: и в и в , и в . Это говорит о том, что для данного логического выражения есть возможности минимизации.Правила минимизации рассматриваются в лекции 2.

Ключевые термины

ДНФ - дизъюнктивно-нормальная форма - представление логического выражения в виде суммы произведений.

Инверсия - операция НЕ- логическое действие, при котором появление хотя бы одного логического нуля на входе даёт логическую единицу на выходе.

Инвертор - логический элемент, реализующий операцию НЕ.

КНФ - конъюктивно-нормальная форма - представление логического выражения в виде произведения сумм.

Логическая переменная - переменная, значение которой может быть равно либо логическому нулю, либо логической единице.

Логическая схема - схема, состоящая из логических элементов.

Логическая функция - функция, включающая в себя логические переменные, значение которой может быть равно либо логическому нулю, либо логической единице.

Логический элемент - графическое представление элементарной логической функции.

Логическое отрицание - операция НЕ, инверсия - логическое действие, при котором происходит изменение состояния на противоположное.

Логическое сложение - операция ИЛИ, дизъюнкция - логическое действие, при котором появление хотя бы одной логической единицы на входе даёт логическую единицу на выходе.

Логическое умножение - операция И, конъюнкция - логическое действие, при котором появление хотя бы одного логического нуля на входе даёт логический нуль на выходе.

Таблица истинности - таблица, содержащая все возможные комбинации входных логических переменных и соответствующие им значения логической функции.

Краткие итоги

Любая цифровая вычислительная машина состоит из логических схем. Логические схемы, в свою очередь, состоят из логических элементов. Самыми простыми логическими элементами являются элементы И, ИЛИ и НЕ. Им соответствуют функции логического умножения, сложения и инверсии.

Набор для практики

Вопросы для самопроверки

1. Нарисуйте элементы И на два, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.
2. Нарисуйте элементы ИЛИ на три, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.
3. Нарисуйте элементы И-НЕ на два, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.
4. Нарисуйте элементы ИЛИ-НЕ на три, четыре и пять входов, составьте для каждого из них таблицу истинности, напишите соответствующее каждому элементу логическое выражение.
5. Какой уровень сигнала является решающим для логического сложения? для логического умножения? для функции И-НЕ? для функции ИЛИ-НЕ?
6. Что такое таблица истинности?
7. Сколько строк в таблице истинности для 5-входовой логической схемы? для 4-входовой? для 2-входовой?
8. Функция скольких переменных описывается таблицей истинности длиной 4 строки? 64 строки? 512 строк?