НОУ ИНТУИТ | Введение в вычислительную математику. Лекция 5: Численные методы решения экстремальных задач

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 54 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Рис. 4.1.

Пусть $u_{2} = \tau,$ тогда симметрично расположенная относительно центра отрезка точка имеет координату $u_{1} = 1 - \tau$ (рис. 4.1).

Пробная точка u₁ отрезка [0, 1] перейдет в пробную точку $u_2^1 = 1 - \tau$ нового отрезка $[0, \tau ].$ Условием деления отрезков [0, 1] и $[0, \tau ]$ в одном и том же отношении точками $u_{2} = \tau$ и $u_2^1 = 1 - \tau$ является равенство

$\frac{1}{\tau } = \frac{\tau }{1 - \tau },\quad \mbox{или}\quad \tau ^2 + \tau - 1 = 0,$

откуда находим положительный корень

$\tau = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0,61803 \ldots ,$

т.е.

$$ u_1 = 1 - \tau = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $,$

$u_2 = \tau = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}.$

Для отрезка [a, b]

$u_1 = a + \frac{3 - \sqrt{5}}{2}(b - a); u_2 = a + \frac{\sqrt{5} - 1}{2}(b - a)$

Замечания.

Точки u₁, u₂ обладают следующим свойством: каждая из них делит отрезок [a, b] на две неравные части так, что отношение длины всего отрезка к длине его большей части равно отношению длин большей и меньшей части. Точки, обладающие таким свойством, называются точками золотого сечения, введенного Леонардо да Винчи.
На каждой итерации отрезок поиска минимума уменьшается в одном и том же отношении
$\tau = \frac{\sqrt{5} - 1}{2},$

поэтому в результате n итераций длина становиться равной

$\Delta _{n} = \tau ^{2} (b - a).$

Следовательно, точность $\varepsilon _{n}$ определения точки u^* после n итераций равна

$\varepsilon_n = \frac{\Delta_n}{2} = \frac{1}{2}{(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^n (b - a); $$
а условие окончания вычислительного процесса будет $\varepsilon_n \le \varepsilon .$

Метод парабол.

Методы, использующие исключение отрезков, основаны на сравнении функций в двух точках пробного отрезка, учитываются лишь значения функции в этих точках.

Учесть информацию о значениях функции между точками позволяют методы полиномиальной аппроксимации. Их основная идея заключена в том, что функция $\Phi (u)$ аппроксимируется полиномом, а точка его минимума служит приближением к u^*. Разумеется, в этом случае кроме свойства унимодальности (т.е. наличия единственного минимума на рассматриваемом отрезке), необходимо на $\Phi (u)$ наложить и требования достаточной гладкости для ее полиномиальной аппроксимации.

Для повышения точности поиска u^* можно как увеличивать степень полинома, так и уменьшать пробный отрезок. Поскольку первый прием приводит к заметному увеличению вычислительной работы и появлению дополнительных экстремумов, обычно пользуются полиномами второй ( метод парабол ) или третьей (метод кубической интерполяции) степени.

Алгоритм поиска минимума состоит в следующем.

Выбираем на пробном отрезке три точки u₁, u₂, u₃ такие, что u₁ < u₂ < u₃ и $u_1 \le u^* \le u_3.$

Построим параболу (квадратичный полином)

Q(u) = a₀ + a₁ (u - u₁) + a₂ (u - u₁)(u - u₂),

график которой проходит через точки (u₁,f(u₁)), (u₂,f(u₂)), (u₃,f(u₃)).

Коэффициенты a_k, k = 1, 2, 3 находим из системы уравнений

Q(u₁) = f(u₁), 
Q(u₂) = f(u₂), 
Q(u₃) = f(u₃),

откуда

$\begin{gather*} a_0 = f(u_1), a_1 = \frac{f(u_2) - f(u_1)}{u_2 - u_1}, \\ a_2 = \frac{1}{u_3 - u_2} \left[{\frac{f(u_3) - f(u_1)}{u_3 - u_1} - \frac{f(u_2) - f(u_1)}{u_2 - u_1}}\right]. \end{gather*}$

Точку $\bar u$ минимума Q(u) находим, приравнивания его производную к нулю:

$\begin{gather*} \bar u = \frac{1}{2}(u_1 + u_2 - \frac{a_1}{a_2}) = \\ = \frac{1}{2} \left[{(u_1 + u_2) - \frac{(f_2 - f_1)(u_3 - u_2)}{u_2 - u_1}/(\frac{f_3 - f_1}{u_3 - u_1} - \frac{f_2 - f_1}{u_2 - u_1})}\right]. \end{gather*}$

Далее полагаем: $u^* \approx \bar u$ (очередное приближение точки минимума). Эту процедуру можно продолжить до достижения необходимой точности, выбирая новые точки u_k, k = 1, 2, 3. Для этого можно использовать методы исключения отрезков, используя в качестве двух пробных точек u₂ и $\bar u,$ таких, что u₂, $\bar u \in [u_1,u_3].$

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в вычислительную математику

Численные методы решения экстремальных задач

Вопросы и ответы